10本のくじがあり、そのうち4本が当たりくじである。この10本のくじから3本を同時に引くとき、少なくとも1本が当たるくじである引き方は何通りあるか。

1. 問題の内容

10本のくじがあり、そのうち4本が当たりくじである。この10本のくじから3本を同時に引くとき、少なくとも1本が当たるくじである引き方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

少なくとも1本が当たる場合の数を直接計算することも可能ですが、ここでは余事象を考えます。つまり、「3本とも外れる」場合の数を求め、それを全体の引き方から引くことで、「少なくとも1本当たる」場合の数を求めます。

まず、10本から3本を引くすべての組み合わせの数を計算します。これは組み合わせの公式で計算できます。

全体の引き方の総数は ${}_{10}C_3$ で表されます。

${}_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

次に、3本とも外れる場合を計算します。外れくじは10本 - 4本 = 6本です。この6本から3本を選ぶ組み合わせの数は ${}_{6}C_3$ で表されます。

${}_{6}C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

少なくとも1本が当たる引き方の総数は、全体の引き方から3本とも外れる引き方を引いたものになります。

求める場合の数 = 全体の引き方 - 3本とも外れる引き方

= $120 - 20 = 100$

3. 最終的な答え

100通り