9. 赤球6個と青球7個が入っている袋から同時に3個の球を取り出すとき、以下の確率を求めます。

9. 赤球6個と青球7個が入っている袋から同時に3個の球を取り出すとき、以下の確率を求めます。

(1) 3個とも青球である確率

(2) 3個とも同じ色の球である確率

(3) 少なくとも1個が赤球である確率

2. 解き方の手順

(1) 3個とも青球である確率

全事象は、13個の球から3個を選ぶ組み合わせなので、$_{13}C_3$通りです。

3個とも青球である事象は、7個の青球から3個を選ぶ組み合わせなので、$_7C_3$通りです。

したがって、確率は

$\frac{_7C_3}{_{13}C_3} = \frac{\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{7 \times 6 \times 5}{13 \times 12 \times 11} = \frac{210}{1716} = \frac{35}{286}$

(2) 3個とも同じ色の球である確率

3個とも赤球である確率は、$\frac{_6C_3}{_{13}C_3} = \frac{\frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{6 \times 5 \times 4}{13 \times 12 \times 11} = \frac{120}{1716} = \frac{10}{143}$

3個とも青球である確率は(1)より$\frac{35}{286}$

よって、3個とも同じ色の球である確率は

$\frac{10}{143} + \frac{35}{286} = \frac{20}{286} + \frac{35}{286} = \frac{55}{286} = \frac{5}{26}$

(3) 少なくとも1個が赤球である確率

これは、3個とも青球である確率の余事象です。

1 - (3個とも青球である確率) = $1 - \frac{35}{286} = \frac{286 - 35}{286} = \frac{251}{286}$

3. 最終的な答え

(1) 3個とも青球である確率: $\frac{35}{286}$

(2) 3個とも同じ色の球である確率: $\frac{5}{26}$

(3) 少なくとも1個が赤球である確率: $\frac{251}{286}$