箱A、箱B、箱Cにそれぞれ当たりくじとはずれくじが入っています。 箱Aには当たりくじ1本、はずれくじ4本。 箱Bには当たりくじ2本、はずれくじ3本。 箱Cには当たりくじ3本、はずれくじ2本。 3つの箱から無作為に1つの箱を選び、くじを1本引いたところ当たりくじでした。このとき、箱Cを選んでいた条件付き確率を求めます。

1. 問題の内容

箱A、箱B、箱Cにそれぞれ当たりくじとはずれくじが入っています。

箱Aには当たりくじ1本、はずれくじ4本。

箱Bには当たりくじ2本、はずれくじ3本。

箱Cには当たりくじ3本、はずれくじ2本。

3つの箱から無作為に1つの箱を選び、くじを1本引いたところ当たりくじでした。このとき、箱Cを選んでいた条件付き確率を求めます。

2. 解き方の手順

ベイズの定理を用いて条件付き確率を計算します。

まず、箱A, B, Cを選ぶ確率はいずれも $1/3$ です。

箱Aで当たりくじを引く確率は $1/5$ です。

箱Bで当たりくじを引く確率は $2/5$ です。

箱Cで当たりくじを引く確率は $3/5$ です。

$P(C|当たり)$ を求める条件付き確率は、箱Cを選んだ場合に当たりくじを引く確率を、当たりくじを引く確率全体で割ったものです。

$P(C|当たり) = \frac{P(C)P(当たり|C)}{P(A)P(当たり|A) + P(B)P(当たり|B) + P(C)P(当たり|C)}$

$P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}$ なので、

$P(C|当たり) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{3}{5}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{5}}$

分母分子に $3 \times 5$ をかけると、

$P(C|当たり) = \frac{3}{1 + 2 + 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$