金貨と銀貨を同時に投げる試行を5回繰り返す。金貨が裏ならば0点、金貨が表で銀貨が裏ならば1点、金貨が表で銀貨も表ならば2点が与えられる。5回の試行で得られる点数の合計をXとする。 (1) X=1となる確率を求めよ。 (2) X=3となる確率を求めよ。 (3) Xが偶数となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

金貨と銀貨を同時に投げる試行を5回繰り返す。金貨が裏ならば0点、金貨が表で銀貨が裏ならば1点、金貨が表で銀貨も表ならば2点が与えられる。5回の試行で得られる点数の合計をXとする。

(1) X=1となる確率を求めよ。

(2) X=3となる確率を求めよ。

(3) Xが偶数となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で各点数が得られる確率を求める。

- 0点: 金貨が裏の場合なので確率 $1/2$

- 1点: 金貨が表で銀貨が裏の場合なので確率 $1/2 \times 1/2 = 1/4$

- 2点: 金貨が表で銀貨も表の場合なので確率 $1/2 \times 1/2 = 1/4$

(1) X=1となるのは、5回のうち1回だけ1点が出て、残りの4回は0点が出る場合である。1点が出る回を選ぶ方法は ${}_5 \mathrm{C}_1 = 5$ 通り。

したがって、確率は

$5 \times (1/4)^1 \times (1/2)^4 = 5 \times 1/4 \times 1/16 = 5/64$

(2) X=3となるのは、以下の3つの場合が考えられる。

- 1点が3回、0点が2回: ${}_5 \mathrm{C}_3 \times (1/4)^3 \times (1/2)^2 = 10 \times 1/64 \times 1/4 = 10/256 = 5/128$

- 1点が1回、2点が1回、0点が3回: ${}_5 \mathrm{C}_1 \times {}_4 \mathrm{C}_1 \times (1/4)^1 \times (1/4)^1 \times (1/2)^3 = 5 \times 4 \times 1/4 \times 1/4 \times 1/8 = 20/128 = 5/32$

したがって、確率は

$5/128 + 5/32 = 5/128 + 20/128 = 25/128$

(3) 各試行で得られる点数が偶数になる確率は $1/2 + 1/4 = 3/4$ （0点または2点）、奇数になる確率は $1/4$ （1点）。

Xが偶数になるのは、5回の合計が偶数になる場合である。

5回のうち奇数の点数が偶数回（0回, 2回, 4回）出る場合を考えればよい。

- 0回: ${}_5 \mathrm{C}_0 \times (3/4)^5 \times (1/4)^0 = (3/4)^5 = 243/1024$

- 2回: ${}_5 \mathrm{C}_2 \times (3/4)^3 \times (1/4)^2 = 10 \times 27/64 \times 1/16 = 270/1024$

- 4回: ${}_5 \mathrm{C}_4 \times (3/4)^1 \times (1/4)^4 = 5 \times 3/4 \times 1/256 = 15/1024$

したがって、確率は

$243/1024 + 270/1024 + 15/1024 = 528/1024 = 33/64$

3. 最終的な答え

(1) X=1となる確率は $5/64$

(2) X=3となる確率は $25/128$

(3) Xが偶数となる確率は $33/64$