袋の中に赤玉4個、白玉5個が入っている。この袋から無作為に3つの玉を取り出す。 (1) 取り出した玉が3つとも白である確率を求めよ。 (2) 取り出した玉のうち2つが赤で1つが白である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉4個、白玉5個が入っている。この袋から無作為に3つの玉を取り出す。

(1) 取り出した玉が3つとも白である確率を求めよ。

(2) 取り出した玉のうち2つが赤で1つが白である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3つとも白玉である確率

- 袋の中の玉の総数は $4 + 5 = 9$ 個である。

- 9個の玉から3個を取り出す組み合わせの総数は、 $_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ 通り。

- 白玉5個から3個を取り出す組み合わせの総数は、 $_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

- よって、3つとも白玉である確率は、 $\frac{_5C_3}{_9C_3} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}$

(2) 2つが赤玉で1つが白玉である確率

- 赤玉4個から2個を取り出す組み合わせの総数は、 $_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

- 白玉5個から1個を取り出す組み合わせの総数は、 $_5C_1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = 5$ 通り。

- 2つが赤玉で1つが白玉である組み合わせの総数は、 $_4C_2 \times _5C_1 = 6 \times 5 = 30$ 通り。

- よって、2つが赤玉で1つが白玉である確率は、 $\frac{_4C_2 \times _5C_1}{_9C_3} = \frac{30}{84} = \frac{5}{14}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{42}$

(2) $\frac{5}{14}$