与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ について、以下の問題を解きます。 (1) $AB$ と $BA$ を計算し、$AB \neq BA$ であることを確認します。 (2) $(AB)C$ と $A(BC)$ を計算し、$(AB)C = A(BC)$ であることを確認します。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ について、以下の問題を解きます。

(1) $AB$ と $BA$ を計算し、$AB \neq BA$ であることを確認します。

(2) $(AB)C$ と $A(BC)$ を計算し、$(AB)C = A(BC)$ であることを確認します。

2. 解き方の手順

(1) $AB$ と $BA$ を計算します。行列の積は、左側の行列の行と右側の行列の列の要素をそれぞれ掛けて足し合わせることによって計算されます。

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot3 + 1\cdot1 & 2\cdot4 + 1\cdot1 \\ 2\cdot3 + 3\cdot1 & 2\cdot4 + 3\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+1 & 8+1 \\ 6+3 & 8+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 9 & 11 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot2 + 4\cdot2 & 3\cdot1 + 4\cdot3 \\ 1\cdot2 + 1\cdot2 & 1\cdot1 + 1\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+8 & 3+12 \\ 2+2 & 1+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 15 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 9 & 11 \end{pmatrix}$ と $BA = \begin{pmatrix} 14 & 15 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$ を比較すると、$AB \neq BA$ であることがわかります。

(2) $(AB)C$ と $A(BC)$ を計算します。

$AB = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 9 & 11 \end{pmatrix}$ であるため、

$(AB)C = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 9 & 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\cdot3 + 9\cdot4 & 7\cdot2 + 9\cdot2 \\ 9\cdot3 + 11\cdot4 & 9\cdot2 + 11\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21+36 & 14+18 \\ 27+44 & 18+22 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 57 & 32 \\ 71 & 40 \end{pmatrix}$

$BC = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot3 + 4\cdot4 & 3\cdot2 + 4\cdot2 \\ 1\cdot3 + 1\cdot4 & 1\cdot2 + 1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9+16 & 6+8 \\ 3+4 & 2+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 & 14 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}$

$A(BC) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 25 & 14 \\ 7 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot25 + 1\cdot7 & 2\cdot14 + 1\cdot4 \\ 2\cdot25 + 3\cdot7 & 2\cdot14 + 3\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50+7 & 28+4 \\ 50+21 & 28+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 57 & 32 \\ 71 & 40 \end{pmatrix}$

$(AB)C = \begin{pmatrix} 57 & 32 \\ 71 & 40 \end{pmatrix}$ と $A(BC) = \begin{pmatrix} 57 & 32 \\ 71 & 40 \end{pmatrix}$ を比較すると、$(AB)C = A(BC)$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

(1) $AB = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 9 & 11 \end{pmatrix}$, $BA = \begin{pmatrix} 14 & 15 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$, $AB \neq BA$

(2) $(AB)C = \begin{pmatrix} 57 & 32 \\ 71 & 40 \end{pmatrix}$, $A(BC) = \begin{pmatrix} 57 & 32 \\ 71 & 40 \end{pmatrix}$, $(AB)C = A(BC)$