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$x + \frac{1}{x} = 7$ のとき、$(x - \frac{1}{x})^2$ の値を求めよ。

代数学式の計算展開分数式
2025/6/20

1. 問題の内容

x+1x=7x + \frac{1}{x} = 7 のとき、(x−1x)2(x - \frac{1}{x})^2 の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた条件 x+1x=7x + \frac{1}{x} = 7 を利用して、(x−1x)2(x - \frac{1}{x})^2 の値を求めます。
まず、(x+1x)2(x + \frac{1}{x})^2 を展開します。
(x+1x)2=x2+2⋅x⋅1x+(1x)2=x2+2+1x2(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}
ここで、x+1x=7x + \frac{1}{x} = 7 であるから、
(x+1x)2=72=49(x + \frac{1}{x})^2 = 7^2 = 49
したがって、
x2+2+1x2=49x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 49
x2+1x2=49−2=47x^2 + \frac{1}{x^2} = 49 - 2 = 47
次に、(x−1x)2(x - \frac{1}{x})^2 を展開します。
(x−1x)2=x2−2⋅x⋅1x+(1x)2=x2−2+1x2(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}
x2+1x2=47x^2 + \frac{1}{x^2} = 47 であるから、
(x−1x)2=x2−2+1x2=(x2+1x2)−2=47−2=45(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = (x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2 = 47 - 2 = 45

3. 最終的な答え

45

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