$a \geq b$ かつ $x \geq y$ のとき、不等式 $(a+b)(x+y) \leq 2(ax+by)$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

$a \geq b$ かつ $x \geq y$ のとき、不等式 $(a+b)(x+y) \leq 2(ax+by)$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の左辺を展開し、整理します。

$(a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by$

次に、与えられた不等式を変形します。

$(a+b)(x+y) \leq 2(ax+by)$

$ax + ay + bx + by \leq 2ax + 2by$

$0 \leq ax - ay - bx + by$

$0 \leq a(x-y) - b(x-y)$

$0 \leq (a-b)(x-y)$

ここで、$a \geq b$ より $a-b \geq 0$ であり、$x \geq y$ より $x-y \geq 0$ です。したがって、$(a-b)(x-y) \geq 0$ となります。

よって、不等式 $(a+b)(x+y) \leq 2(ax+by)$ は成り立ちます。

等号が成り立つのは、$(a-b)(x-y) = 0$ のときです。これは、$a-b = 0$ または $x-y = 0$ のときです。

したがって、$a = b$ または $x = y$ のとき、等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

不等式 $(a+b)(x+y) \leq 2(ax+by)$ は成り立つ。等号が成り立つのは、$a = b$ または $x = y$ のとき。