$a \ge 0$, $b \ge 0$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。 $$\sqrt{\frac{a+b}{2}} \ge \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2}$$

1. 問題の内容

$a \ge 0$, $b \ge 0$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

$$\sqrt{\frac{a+b}{2}} \ge \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2}$$

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺が正であることから、両辺を2乗して考えます。

$$\left( \sqrt{\frac{a+b}{2}} \right)^2 \ge \left( \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2} \right)^2$$

$$\frac{a+b}{2} \ge \frac{a + 2\sqrt{ab} + b}{4}$$

両辺に4をかけて整理します。

$$2(a+b) \ge a + 2\sqrt{ab} + b$$

$$2a + 2b \ge a + 2\sqrt{ab} + b$$

$$a + b - 2\sqrt{ab} \ge 0$$

$$(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \ge 0$$

$$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$$

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$ は常に0以上であるので、与えられた不等式は成り立ちます。

等号が成り立つのは、$\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$ のときです。

$$\sqrt{a} = \sqrt{b}$$

$$a = b$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{\frac{a+b}{2}} \ge \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2}$ は、$a \ge 0$, $b \ge 0$ のとき成り立つ。

等号が成り立つのは、$a=b$ のとき。