$a, b, x, y$ がすべて正の数で、$\frac{x}{a} < \frac{y}{b}$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明する問題です。 $\frac{x}{a} < \frac{x+y}{a+b} < \frac{y}{b}$

1. 問題の内容

$a, b, x, y$ がすべて正の数で、$\frac{x}{a} < \frac{y}{b}$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明する問題です。

$\frac{x}{a} < \frac{x+y}{a+b} < \frac{y}{b}$

2. 解き方の手順

不等式を $\frac{x}{a} < \frac{x+y}{a+b}$ と $\frac{x+y}{a+b} < \frac{y}{b}$ に分けて証明します。

(1) $\frac{x}{a} < \frac{x+y}{a+b}$ を証明する。

両辺に $a(a+b)$ を掛けると、$a, b, x, y$ が正の数なので不等号の向きは変わりません。

$x(a+b) < a(x+y)$

$ax + bx < ax + ay$

$bx < ay$

$\frac{x}{a} < \frac{y}{b}$

これは問題文の仮定より正しいので、$\frac{x}{a} < \frac{x+y}{a+b}$ は正しい。

(2) $\frac{x+y}{a+b} < \frac{y}{b}$ を証明する。

両辺に $b(a+b)$ を掛けると、$a, b, x, y$ が正の数なので不等号の向きは変わりません。

$b(x+y) < y(a+b)$

$bx + by < ay + by$

$bx < ay$

$\frac{x}{a} < \frac{y}{b}$

これは問題文の仮定より正しいので、$\frac{x+y}{a+b} < \frac{y}{b}$ は正しい。

(1)と(2)より、$\frac{x}{a} < \frac{x+y}{a+b} < \frac{y}{b}$ が成り立つことが証明されました。

3. 最終的な答え

$\frac{x}{a} < \frac{x+y}{a+b} < \frac{y}{b}$