問題は以下の2つの不等式を証明し、等号が成立するための必要十分条件を求めることです。 (3) $2x^2 + 3xy + 2y^2 \geq 0$ (4) $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \geq 0$ (5) $a \geq 0, b \geq 0$ のとき $\sqrt{a+2\sqrt{b}} \geq \sqrt{a+4b}$

1. 問題の内容

問題は以下の2つの不等式を証明し、等号が成立するための必要十分条件を求めることです。

(3) $2x^2 + 3xy + 2y^2 \geq 0$

(4) $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \geq 0$

(5) $a \geq 0, b \geq 0$ のとき $\sqrt{a+2\sqrt{b}} \geq \sqrt{a+4b}$

2. 解き方の手順

(3) $2x^2 + 3xy + 2y^2 \geq 0$ を証明する。

まず、式を平方完成します。

$2x^2 + 3xy + 2y^2 = 2(x^2 + \frac{3}{2}xy) + 2y^2 = 2(x + \frac{3}{4}y)^2 - 2(\frac{9}{16}y^2) + 2y^2 = 2(x + \frac{3}{4}y)^2 + \frac{7}{8}y^2$

$2(x + \frac{3}{4}y)^2 \geq 0$ かつ $\frac{7}{8}y^2 \geq 0$ であるから、$2(x + \frac{3}{4}y)^2 + \frac{7}{8}y^2 \geq 0$ が成り立つ。

したがって、$2x^2 + 3xy + 2y^2 \geq 0$ が証明された。

等号が成立するのは、$2(x + \frac{3}{4}y)^2 = 0$ かつ $\frac{7}{8}y^2 = 0$ のときである。

$\frac{7}{8}y^2 = 0$ より、$y = 0$

$x + \frac{3}{4}y = 0$ に $y = 0$ を代入すると、$x = 0$

したがって、等号成立条件は、$x=0$ かつ $y=0$ である。

(4) $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \geq 0$ を証明する。

両辺に2をかけると、$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx \geq 0$

$(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) \geq 0$

$(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \geq 0$

$(x-y)^2 \geq 0$, $(y-z)^2 \geq 0$, $(z-x)^2 \geq 0$ であるから、$(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \geq 0$ が成り立つ。

したがって、$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \geq 0$ が証明された。

等号が成立するのは、$(x-y)^2 = 0$, $(y-z)^2 = 0$, $(z-x)^2 = 0$ のときである。

$x-y = 0$ より $x=y$

$y-z = 0$ より $y=z$

$z-x = 0$ より $z=x$

したがって、等号成立条件は、$x=y=z$ である。

(5) $a \geq 0, b \geq 0$ のとき $\sqrt{a+2\sqrt{b}} \geq \sqrt{a+4b}$ を証明する。

これは誤りです。反例として、$a = 1, b = 1$ をとると、

$\sqrt{1+2\sqrt{1}} = \sqrt{3} \approx 1.732$

$\sqrt{1+4\cdot 1} = \sqrt{5} \approx 2.236$

$\sqrt{3} \geq \sqrt{5}$ は成り立たない。

この不等式は成立しません。

3. 最終的な答え

(3) 不等式 $2x^2 + 3xy + 2y^2 \geq 0$ は成立する。等号成立条件は $x=0$ かつ $y=0$ である。

(4) 不等式 $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \geq 0$ は成立する。等号成立条件は $x=y=z$ である。

(5) 与えられた不等式は成立しない。