20個の製品の中に不良品が5個含まれている。この中から3個を同時に取り出すとき、少なくとも1個は不良品でない確率を求めよ。

1. 問題の内容

20個の製品の中に不良品が5個含まれている。この中から3個を同時に取り出すとき、少なくとも1個は不良品でない確率を求めよ。

2. 解き方の手順

少なくとも1個が不良品でない確率を求める代わりに、すべて不良品である確率を求めて、それを1から引くという余事象の考え方を用いる。

まず、20個の製品から3個を取り出すすべての組み合わせの数を計算する。これは、20個から3個を選ぶ組み合わせなので、$_{20}C_3$で表される。

$_{20}C_3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 19 \times 6 = 1140$

次に、3個とも不良品である組み合わせの数を計算する。これは、5個の不良品から3個を選ぶ組み合わせなので、$_{5}C_3$で表される。

$_{5}C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、3個とも不良品である確率は、$\frac{_{5}C_3}{_{20}C_3} = \frac{10}{1140} = \frac{1}{114}$となる。

少なくとも1個が不良品でない確率は、1から3個とも不良品である確率を引いたものなので、

$1 - \frac{1}{114} = \frac{114 - 1}{114} = \frac{113}{114}$

3. 最終的な答え

$\frac{113}{114}$