与えられた連立一次方程式の解を求めます。 与えられた式は $2x - y + z - 3 = 0$ と行列 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ です。 この問題は、与えられた行列を係数とする連立一次方程式を解く問題です。 連立一次方程式は以下のようになります。 $x + 3y + z = a$ $2x + y = b$ $-x + y + 2z = c$ ここで、$a, b, c$ は $2x - y + z = 3$ を満たす必要があります。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を求めます。

与えられた式は

$2x - y + z - 3 = 0$

と行列

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

です。

この問題は、与えられた行列を係数とする連立一次方程式を解く問題です。

連立一次方程式は以下のようになります。

$x + 3y + z = a$

$2x + y = b$

$-x + y + 2z = c$

ここで、$a, b, c$ は $2x - y + z = 3$ を満たす必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列の逆行列を求めます。

行列を $A$ とすると、

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

$det(A) = 1(1 \cdot 2 - 0 \cdot 1) - 3(2 \cdot 2 - 0 \cdot (-1)) + 1(2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = 2 - 12 + 3 = -7$

逆行列 $A^{-1}$ は、

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A)$

ここで、$adj(A)$ は $A$ の余因子行列です。

$C_{11} = 2, C_{12} = -4, C_{13} = 3$

$C_{21} = -5, C_{22} = 3, C_{23} = -4$

$C_{31} = -1, C_{32} = 2, C_{33} = -5$

$adj(A) = \begin{pmatrix} 2 & -5 & -1 \\ -4 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & -5 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{-7} \begin{pmatrix} 2 & -5 & -1 \\ -4 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/7 & 5/7 & 1/7 \\ 4/7 & -3/7 & -2/7 \\ -3/7 & 4/7 & 5/7 \end{pmatrix}$

連立一次方程式を行列で表すと、

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/7 & 5/7 & 1/7 \\ 4/7 & -3/7 & -2/7 \\ -3/7 & 4/7 & 5/7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$

$x = (-2a + 5b + c) / 7$

$y = (4a - 3b - 2c) / 7$

$z = (-3a + 4b + 5c) / 7$

ここで、$2x - y + z = 3$ を満たす必要があります。

$2((-2a + 5b + c) / 7) - (4a - 3b - 2c) / 7 + ((-3a + 4b + 5c) / 7) = 3$

$(-4a + 10b + 2c - 4a + 3b + 2c - 3a + 4b + 5c) / 7 = 3$

$-11a + 17b + 9c = 21$

$a, b, c$ は $-11a + 17b + 9c = 21$ を満たす必要があります。

また、$x, y, z$ は以下の式で与えられます。

$x = (-2a + 5b + c) / 7$

$y = (4a - 3b - 2c) / 7$

$z = (-3a + 4b + 5c) / 7$

3. 最終的な答え

解は $a, b, c$ が $-11a + 17b + 9c = 21$ を満たすとき、

$x = (-2a + 5b + c) / 7$

$y = (4a - 3b - 2c) / 7$

$z = (-3a + 4b + 5c) / 7$

です。