2つの2次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算する。 (2) 行列 $A$ の余因子を求める。 (3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。 (4) 行列 $B$ の行列式 $|B|$ を計算する。 (5) 行列 $B$ の余因子を求める。 (6) 行列 $B$ の逆行列 $B^{-1}$ を求める。

1. 問題の内容

2つの2次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算する。

(2) 行列 $A$ の余因子を求める。

(3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

(4) 行列 $B$ の行列式 $|B|$ を計算する。

(5) 行列 $B$ の余因子を求める。

(6) 行列 $B$ の逆行列 $B^{-1}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の行列式 $|A|$ は、

$|A| = (4)(2) - (1)(3) = 8 - 3 = 5$

(2) 行列 $A$ の余因子は、

$A_{11} = 2$

$A_{12} = -3$

$A_{21} = -1$

$A_{22} = 4$

(3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ は、

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \end{pmatrix}$

(4) 行列 $B$ の行列式 $|B|$ は、

$|B| = (\cos\theta)(\cos\theta) - (-\sin\theta)(\sin\theta) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$

(5) 行列 $B$ の余因子は、

$B_{11} = \cos\theta$

$B_{12} = -\sin\theta$

$B_{21} = -(-\sin\theta) = \sin\theta$

$B_{22} = \cos\theta$

(6) 行列 $B$ の逆行列 $B^{-1}$ は、

$B^{-1} = \frac{1}{|B|} \begin{pmatrix} B_{11} & B_{21} \\ B_{12} & B_{22} \end{pmatrix} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $|A| = 5$

(2) $A_{11} = 2, A_{12} = -3, A_{21} = -1, A_{22} = 4$

(3) $A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \end{pmatrix}$

(4) $|B| = 1$

(5) $B_{11} = \cos\theta, B_{12} = -\sin\theta, B_{21} = \sin\theta, B_{22} = \cos\theta$

(6) $B^{-1} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$