座標空間に2点A(2, 2, 3), B(4, 3, 5)をとり、ABを1辺とする正四面体ABCDを考える。 (1) $|AB|$, $AB \cdot AC$ を求めよ。 (2) 辺ABを $t : (1-t)$ に内分する点をPとするとき、$\vec{PC} \cdot \vec{PD}$, $|\vec{PC}|^2$ を $t$ で表せ。 (3) $\angle{CPD} = \theta$ とおくとき、$\cos\theta$ を $t$ で表せ。 (4) $\cos\theta$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間に2点A(2, 2, 3), B(4, 3, 5)をとり、ABを1辺とする正四面体ABCDを考える。

(1) $|AB|$, $AB \cdot AC$ を求めよ。

(2) 辺ABを $t : (1-t)$ に内分する点をPとするとき、$\vec{PC} \cdot \vec{PD}$, $|\vec{PC}|^2$ を $t$ で表せ。

(3) $\angle{CPD} = \theta$ とおくとき、$\cos\theta$ を $t$ で表せ。

(4) $\cos\theta$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $|AB|$ を求める。

$\vec{AB} = (4-2, 3-2, 5-3) = (2, 1, 2)$

$|AB| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

次に、$AB \cdot AC$ を求める必要があるが、$C$ の座標が不明なので、正四面体の性質を利用する。正四面体では、$|AB|=|AC|=|BC|=3$ かつ $\angle BAC=60^\circ$ である。

$AB \cdot AC = |AB| |AC| \cos{60^\circ} = 3 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

(2) $\vec{AP} = t\vec{AB} = t(2, 1, 2) = (2t, t, 2t)$

$\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP} = (2, 2, 3) + (2t, t, 2t) = (2+2t, 2+t, 3+2t)$

$\vec{PC} = \vec{OC} - \vec{OP}$

$\vec{PD} = \vec{OD} - \vec{OP}$

正四面体の性質より、$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |AB||AC|\cos{60^\circ} = 3 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

同様に $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = \frac{9}{2}$

C, Dの座標は不明なので、一旦保留。 $|\vec{PC}|^2$ を $t$ で表す。

$\vec{PC} = \vec{OC} - \vec{OP} = \vec{OC} - (2+2t, 2+t, 3+2t)$

$|\vec{PC}|^2 = (\vec{OC} - (2+2t, 2+t, 3+2t)) \cdot (\vec{OC} - (2+2t, 2+t, 3+2t))$

ここで、$|\vec{PC}| = |\vec{AC}| = 3$を用いる。正四面体の各辺の長さは等しい。

$|\vec{PC}|^2 = |\vec{OC} - \vec{OP}|^2 = 9$

$\vec{OA}=(2,2,3), \vec{OB}=(4,3,5)$

$\vec{OP}=(2+2t,2+t,3+2t)$

$\vec{PA}=(2-(2+2t),2-(2+t),3-(3+2t)) = (-2t, -t, -2t) = -t(2,1,2)$

$\vec{PB}=(4-(2+2t),3-(2+t),5-(3+2t)) = (2-2t, 1-t, 2-2t) = (1-t)(2,1,2)$

$\vec{AP} = t\vec{AB}, \vec{PB}=(1-t)\vec{AB}$

$|\vec{AB}|=3$

$\vec{PC} = \vec{AC}-\vec{AP}, \vec{PD} = \vec{AD}-\vec{AP}$

$\vec{PC}\cdot\vec{PD} = (\vec{AC}-\vec{AP})\cdot(\vec{AD}-\vec{AP}) = \vec{AC}\cdot\vec{AD} - \vec{AC}\cdot\vec{AP} - \vec{AD}\cdot\vec{AP} + \vec{AP}\cdot\vec{AP}$

$|\vec{AP}|^2 = (2t)^2 + t^2 + (2t)^2 = 4t^2 + t^2 + 4t^2 = 9t^2$

$|\vec{PC}|^2 = |\vec{AC}-\vec{AP}|^2 = |\vec{AC}|^2 - 2\vec{AC}\cdot\vec{AP} + |\vec{AP}|^2$

$|\vec{AC}|^2 = 9, \vec{AC}\cdot\vec{AP} = \vec{AC}\cdot t\vec{AB} = t(\vec{AC}\cdot\vec{AB}) = \frac{9}{2}t$

$|\vec{PC}|^2 = 9 - 2\cdot\frac{9}{2}t + 9t^2 = 9 - 9t + 9t^2$

(3) $\cos\theta$ を $t$ で表す。

$\cos\theta = \frac{\vec{PC} \cdot \vec{PD}}{|\vec{PC}||\vec{PD}|}$

$\vec{AC} \cdot \vec{AD} = |\vec{AC}||\vec{AD}|\cos{60^{\circ}} = 3 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

$\vec{PC}\cdot\vec{PD} = (\vec{AC} - t\vec{AB}) \cdot (\vec{AD} - t\vec{AB}) = \vec{AC}\cdot\vec{AD} - t\vec{AC}\cdot\vec{AB} - t\vec{AD}\cdot\vec{AB} + t^2\vec{AB}\cdot\vec{AB} = \frac{9}{2} - t\frac{9}{2} - t\frac{9}{2} + t^2 \cdot 9 = \frac{9}{2} - 9t + 9t^2$

正四面体なので、 $|\vec{PC}| = |\vec{PD}| = \sqrt{9 - 9t + 9t^2}$

$\cos\theta = \frac{\frac{9}{2} - 9t + 9t^2}{9 - 9t + 9t^2} = \frac{18t^2 - 36t + 9}{2(9t^2 - 9t + 9)} = \frac{2t^2 - 4t + 1}{2(t^2 - t + 1)}$

(4) $\cos\theta$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求める。

$\cos\theta = \frac{2t^2 - 4t + 1}{2(t^2 - t + 1)}$

$\frac{d\cos\theta}{dt} = \frac{(4t - 4)(2t^2 - 2t + 2) - (2t^2 - 4t + 1)(4t - 2)}{4(t^2 - t + 1)^2} = \frac{(4t - 4)(t^2 - t + 1) - (2t^2 - 4t + 1)(2t - 1)}{2(t^2 - t + 1)^2}$

$= \frac{(4t^3 - 4t^2 + 4t - 4t^2 + 4t - 4) - (4t^3 - 8t^2 + 2t + -2t^2 + 4t - 1)}{2(t^2 - t + 1)^2} = \frac{4t^3 - 8t^2 + 8t - 4 - 4t^3 + 10t^2 - 6t + 1}{2(t^2 - t + 1)^2}$

$= \frac{2t^2 + 2t - 3}{2(t^2 - t + 1)^2}$

$2t^2 + 2t - 3 = 0$ より、 $t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-3)}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{2}$

$0 \le t \le 1$ なので、$t = \frac{-1 + \sqrt{7}}{2} \approx 0.82$

$\cos\theta = \frac{2t^2 - 4t + 1}{2(t^2 - t + 1)}$

$t = \frac{-1 + \sqrt{7}}{2}$を代入。

$\cos\theta = \frac{2(\frac{-1+\sqrt{7}}{2})^2 - 4(\frac{-1+\sqrt{7}}{2}) + 1}{2((\frac{-1+\sqrt{7}}{2})^2 - (\frac{-1+\sqrt{7}}{2}) + 1)} = \frac{4-2\sqrt{7}}{8} = \frac{2-\sqrt{7}}{4}$

$\cos\theta = \frac{2-\sqrt{7}}{4} \approx -0.161$

3. 最終的な答え

(1) $|AB| = 3$, $AB \cdot AC = \frac{9}{2}$

(2) $|\vec{PC}|^2 = 9t^2 - 9t + 9$

$\vec{PC}\cdot\vec{PD} = 9t^2 - 9t + \frac{9}{2}$

(3) $\cos\theta = \frac{2t^2 - 4t + 1}{2t^2 - 2t + 2}$

(4) $\cos\theta$ の最小値: $\frac{2-\sqrt{7}}{4}$, そのときの $t$ の値: $\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$