(2) $a=0$ とします。 (i) $k=-\sqrt{5}$のとき、原点(0, 0)と直線 $l$ の距離を求めます。 (ii) 円 $C$ と直線 $l$ が共有点を持つ $k$ の範囲を求めます。 (iii) 領域 $D: x^2+y^2 \le 5$ と領域 $E: y \le 2x+k$ が与えられたとき、$D \subset E$ となる $k$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

(2) $a=0$ とします。

(i) $k=-\sqrt{5}$のとき、原点(0, 0)と直線 $l$ の距離を求めます。

(ii) 円 $C$ と直線 $l$ が共有点を持つ $k$ の範囲を求めます。

(iii) 領域 $D: x^2+y^2 \le 5$ と領域 $E: y \le 2x+k$ が与えられたとき、$D \subset E$ となる $k$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

問題文中の直線 $l$ の方程式が省略されていますが、(iii)から$y = 2x + k$ であると推測できます。以下では直線 $l$ の方程式を $y = 2x + k$ として解いていきます。

(i) 原点(0, 0)と直線 $2x - y + k = 0$ の距離を求める公式は、

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

ここで、$(x_0, y_0) = (0, 0)$、$a = 2$、$b = -1$、$c = k$ です。したがって、$k = -\sqrt{5}$のとき、

$$d = \frac{|2(0) - 1(0) - \sqrt{5}|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1$$

したがって、7 の解答は 1 です。

(ii) 円 $C$ は $x^2 + y^2 = 5$ (原点中心、半径 $\sqrt{5}$の円) です。円 $C$ と直線 $y = 2x + k$ が共有点を持つ条件は、円の中心(0, 0)と直線 $2x - y + k = 0$ の距離が半径 $\sqrt{5}$ 以下であることです。

$$\frac{|2(0) - 1(0) + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \le \sqrt{5}$$

$$\frac{|k|}{\sqrt{5}} \le \sqrt{5}$$

$$|k| \le 5$$

$$-5 \le k \le 5$$

したがって、8 の解答は -5 で、9 の解答は 5 です。

(iii) $D \subset E$ となる $k$ の範囲を求めます。これは、領域 $D$ に含まれるすべての点 $(x, y)$ が $y \le 2x + k$ を満たすということです。

$D$ は円 $x^2 + y^2 \le 5$ ですから、$y$ が最大となる点を探します。円上の点 $(x,y)$ について、$y = 2x + k$ を満たす必要があるので、円 $x^2+y^2=5$と直線 $y=2x+k$ が接する時を考えます。円の中心と直線の距離が円の半径に等しいときが接するので、(ii)より$k = 5$のとき、直線は円と接し、円は $y \le 2x+k$ の領域に含まれます。

$D$ に含まれるすべての点が $E$ に含まれるためには、円と直線の位置関係を考慮する必要があります。$y$の最大値は$\sqrt{5}$となり、それ以下のすべての$y$について$y \le 2x+k$を満たしていればよいので、直線は円よりも上側に位置する必要があります。

つまり、円 $x^2+y^2 \le 5$ 上のすべての点 $(x, y)$ に対して $y \le 2x + k$ が成り立つ必要があります。円上の点を動かしたとき、$y - 2x$ の最大値を考えます。$y - 2x = k$ ということなので、$k$ がその最大値以上であればよいことになります。

円上の点 $(x, y)$ に対して、$x = \sqrt{5}\cos\theta$, $y = \sqrt{5}\sin\theta$ とおけます。すると、

$y - 2x = \sqrt{5}\sin\theta - 2\sqrt{5}\cos\theta = \sqrt{5}(\sin\theta - 2\cos\theta) = \sqrt{5}\sqrt{1^2+(-2)^2}\sin(\theta + \alpha) = \sqrt{25}\sin(\theta + \alpha) = 5\sin(\theta + \alpha)$

となるので、$y - 2x$ の最大値は 5 となります。したがって、$k \ge 5$ となります。

したがって、10 の解答は 5 ($\ge$) で、11 の解答は 5 です。

3. 最終的な答え

7: 1

8: -5

9: 5

10: 5

11: 5