$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 - x + b = 0$ が $-1 + 2i$ を解に持つとき、共役複素数、二次式 $g(x)$、割り算の商と余り、そして $a, b$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 - x + b = 0$ が $-1 + 2i$ を解に持つとき、共役複素数、二次式 $g(x)$、割り算の商と余り、そして $a, b$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(ア) 実数係数の多項式が複素数解を持つならば、その共役複素数も解である。したがって、$-1 + 2i$ が解ならば、$-1 - 2i$ も解である。

(イ、ウ) $g(x) = (x - (-1 + 2i))(x - (-1 - 2i))$ を計算する。

$g(x) = (x + 1 - 2i)(x + 1 + 2i) = (x + 1)^2 - (2i)^2 = x^2 + 2x + 1 - (-4) = x^2 + 2x + 5$

したがって、$g(x) = x^2 - (-2)x + 5$

(エ、オ、カ) $x^3 + ax^2 - x + b$ を $g(x) = x^2 + 2x + 5$ で割ると、

商は $x + (a - 2)$、余りは $(-1 - 2(a-2) - 5)x + (b - 5(a-2))$となる。

$x^3 + ax^2 - x + b = (x^2 + 2x + 5)(x + a - 2) + (-2a-2)x + (-5a+b+10)$

(キ、ク) $x^3 + ax^2 - x + b$ は $g(x)$ で割り切れるので、余りは0となる。

したがって、$-2a - 2 = 0$ かつ $-5a + b + 10 = 0$。

$-2a - 2 = 0$ より $a = -1$。

$-5a + b + 10 = 0$ に $a = -1$ を代入すると、$-5(-1) + b + 10 = 0$ より $b = -15$。

(ケ) 3次方程式の解は $-1 + 2i$, $-1 - 2i$ と、割った時の商 $x + a - 2 = 0$ より、 $x = -a + 2 = 1 + 2 = 3$.

3. 最終的な答え

ア: $-1 - 2i$

イ: $-2$

ウ: $5$

エ: $a - 2$

オ: $-2a - 6$

カ: $-5a + b + 10$

キ: $-1$

ク: $-15$

ケ: $3$