3次方程式 $2x^3 + ax + b = 0$ が $x=1$ を重解として持つとき、実数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 + ax + b = 0$ が $x=1$ を重解として持つとき、実数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x=1$が重解であることから、$2x^3 + ax + b$ は $(x-1)^2$ で割り切れるか、あるいは $(x-1)^2$ を因数に持つことがわかります。$2x^3+ax+b=0$は3次方程式なので、残りの解を$\alpha$とすると、

$2x^3 + ax + b = 2(x-1)^2(x-\alpha)$

と表せます。

または，$x=1$を重解として持つため、$x=1$を代入したときに方程式が成り立つこと、そして微分した式に$x=1$を代入したときにも方程式が成り立つことを利用します。

まず、$x=1$ を代入すると、

$2(1)^3 + a(1) + b = 0$

$2 + a + b = 0$

次に、$2x^3 + ax + b = 0$ を $x$ で微分すると、

$6x^2 + a = 0$

これに $x=1$ を代入すると、

$6(1)^2 + a = 0$

$6 + a = 0$

$a = -6$

これを $2 + a + b = 0$ に代入すると、

$2 + (-6) + b = 0$

$-4 + b = 0$

$b = 4$

念のため，$a=-6$、$b=4$ をもとの式に代入して、$x=1$ が重解になることを確認します。

$2x^3 - 6x + 4 = 0$

$x=1$を代入すると、$2(1)^3 - 6(1) + 4 = 2 - 6 + 4 = 0$なので解である。

$2x^3 - 6x + 4 = 2(x^3 - 3x + 2)$

$x^3 - 3x + 2$を因数分解すると、$(x-1)$を因数に持つので、$x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x^2 + x - 2)$

$x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$

よって、$2x^3 - 6x + 4 = 2(x-1)(x-1)(x+2) = 2(x-1)^2(x+2)$

よって、$x=1$は重解。

3. 最終的な答え

$a = -6$

$b = 4$