3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 2 = 0$ が解 $1+i$ を持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解 $x$ を求める問題です。ただし、$i$ は虚数単位です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 2 = 0$ が解 $1+i$ を持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解 $x$ を求める問題です。ただし、$i$ は虚数単位です。

2. 解き方の手順

まず、$1+i$ が解なので、$x = 1+i$ を方程式に代入します。

$(1+i)^3 + a(1+i)^2 + b(1+i) + 2 = 0$

$(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$

$(1+i)^3 = (1+i)(1+i)^2 = (1+i)(2i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i$

これを代入すると、

$(-2+2i) + a(2i) + b(1+i) + 2 = 0$

$-2 + 2i + 2ai + b + bi + 2 = 0$

$(b) + (2+2a+b)i = 0$

実部と虚部がそれぞれ0になる必要があるので、以下の連立方程式が得られます。

$b = 0$

$2 + 2a + b = 0$

$b=0$ を $2 + 2a + b = 0$ に代入すると、$2 + 2a = 0$, よって $a = -1$

よって、与えられた３次方程式は $x^3 - x^2 + 2 = 0$ となります。

$1+i$ が解であるということは、$1-i$ も解であるということです。（係数が実数なので）

したがって、$(x - (1+i))(x - (1-i)) = (x-1-i)(x-1+i) = (x-1)^2 - i^2 = x^2 - 2x + 1 + 1 = x^2 - 2x + 2$ は与えられた3次式の因数です。

そこで、$x^3 - x^2 + 2$ を $x^2 - 2x + 2$ で割ります。

$x^3 - x^2 + 0x + 2 = (x^2 - 2x + 2)(x+1)$

$x^3 - x^2 + 2 = (x^2 - 2x + 2)(x+1) = 0$

したがって、$x = -1$

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 0$

$x = -1$