$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が $2+i$ を解にもつとき、以下の空欄を埋める問題。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が $2+i$ を解にもつとき、以下の空欄を埋める問題。

2. 解き方の手順

まず、$x=2+i$ が解ならば、共役複素数である $2-i$ も解になる。したがって、アには $2-i$ が入る。

$g(x) = (x - (2+i))(x - (2-i)) = (x-2-i)(x-2+i) = (x-2)^2 - (i)^2 = x^2 - 4x + 4 - (-1) = x^2 - 4x + 5$

したがって、イには $4$, ウには $5$ が入る。

$x^3 + ax^2 + bx + 10$ を $g(x) = x^2 - 4x + 5$ で割ると、

$x^3 + ax^2 + bx + 10 = (x^2 - 4x + 5)(x + (a+4)) + ( (b+4a+16-5)x + 10-5a-20 )$

$= (x^2 - 4x + 5)(x + (a+4)) + ( (b+4a+11)x + (-5a-10) )$

$x^3 + ax^2 + bx + 10$ は $g(x)$ で割り切れるから、余りは $0$ でなければならない。

よって、$b+4a+11 = 0$ かつ $-5a-10=0$ が成立する。

$-5a - 10 = 0$ より、$-5a = 10$ なので、$a=-2$。

$b + 4a + 11 = 0$ に $a=-2$ を代入すると、$b + 4(-2) + 11 = 0$ より、$b - 8 + 11 = 0$ なので、$b = -3$。

したがって、エには $-2+4 = 2$、オには $0$、カには $0$、キには $-2$、クには $-3$ が入る。

3次方程式 $x^3 -2x^2 -3x + 10 = 0$ の解は $x=2+i, 2-i$ と $x+(a+4) = x + (-2+4) = x+2 = 0$ より、$x=-2$。

したがって、ケには $-2$ が入る。

3. 最終的な答え

ア：2-i

イ：4

ウ：5

エ：a+4 = 2

オ：0

カ：0

キ：-2

ク：-3

ケ：-2