$x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ という3次方程式があり、$2+i$ を解にもつ。$a, b$ は実数であり、$i$ は虚数単位である。このとき、$a, b$ の値と、方程式のすべての解を求める。

1. 問題の内容

$x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ という3次方程式があり、$2+i$ を解にもつ。$a, b$ は実数であり、$i$ は虚数単位である。このとき、$a, b$ の値と、方程式のすべての解を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x = 2+i$ が解であることから、共役複素数 $x = 2-i$ も解となる（ア）。

$g(x) = (x - (2+i))(x - (2-i))$ とおくと、

$g(x) = x^2 - (2+i+2-i)x + (2+i)(2-i) = x^2 - 4x + (4 - i^2) = x^2 - 4x + 5$ となる（イ、ウ）。

$x^3 + ax^2 + bx + 10$ を $g(x) = x^2 - 4x + 5$ で割ると、$x + (a+4)$ が商となり、余りが $(b + 4a + 16)x + ( -5a - 10)$ となる。

$x^3 + ax^2 + bx + 10 = (x^2 - 4x + 5)(x + (a+4)) + (b + 4a + 16)x + ( -5a - 10)$

与えられた式より、割り切れるので、

$b + 4a + 16 = 0$

$-5a - 10 = 0$

$-5a = 10$ より、 $a = -2$（キ）。

$b + 4(-2) + 16 = 0$ より、$b + 8 = 0$ なので、$b = -8$（ク）。

ここで計算に誤りがあったので修正する。

割り切れることから、余りは0なので、

$(b+4a+16)x + (10 - 5(a+4)) = (b+4a+16)x + (10-5a-20) = (b+4a+16)x + (-5a-10) = 0$

$-5a - 10 = 0$ より $a = -2$

$b + 4a + 16 = b + 4(-2) + 16 = b - 8 + 16 = b + 8 = 0$ より $b = -8$

$x^3 - 2x^2 - 8x + 10 = (x^2 - 4x + 5)(x + 2)$

$x^3 + ax^2 + bx + 10 = (x^2 - 4x + 5)(x+(a+4)) + (b+4a+16)x+(10-5(a+4))$

$x^3 - 2x^2 + bx + 10 = (x^2-4x+5)(x+2) + (b-8+16)x + (10-5(-2+4)) = (x^2-4x+5)(x+2) + (b+8)x + 0$

このとき、商は $x + (a+4) = x - 2 + 4 = x + 2$（エ）

余りは $(b+8)x + 0$ （オ、カ）

$x^3 + ax^2 + bx + 10$は$g(x)$で割り切れるので、余りが0となるので、

$b+8 = 0$ より $b=-8$

$g(x) = (x - (2+i))(x - (2-i)) = x^2 - 4x + 5$ で、$x^3 - 2x^2 - 8x + 10 = (x+2)(x^2 - 4x + 5)$

よって、解は $x = 2+i, 2-i, -2$（ケ）。

3. 最終的な答え

ア: $2-i$

イ: $4$

ウ: $5$

エ: $2$

オ: $0$

カ: $0$

キ: $-2$

ク: $-8$

ケ: $-2$

したがって、解は $x = 2+i, 2-i, -2$