$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + b = 0$ が $-1-i$ を解に持つとき、残りの解と $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + b = 0$ が $-1-i$ を解に持つとき、残りの解と $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ア：

$x^3 + ax^2 + b = 0$ は実数係数のため、 $-1-i$ が解ならば、その共役複素数である $-1+i$ も解である。

イ、ウ：

$g(x) = (x - (-1-i))(x - (-1+i))$

$= (x+1+i)(x+1-i)$

$= (x+1)^2 - i^2$

$= x^2 + 2x + 1 - (-1)$

$= x^2 + 2x + 2$

したがって、$g(x) = x^2 + 2x + 2$

エ、オ、カ：

$x^3 + ax^2 + b$ を $g(x) = x^2 + 2x + 2$ で割ると、

$x^3 + ax^2 + b = (x^2 + 2x + 2)(x + (a-2)) + (-2a+4)x + b-2a+4$

$x^3 + ax^2 + b = x^3 + ax^2 + (-2a+4)x + b-2a+4$

よって、商は $x + a-2$ で、余りは $(-2a+4)x + (b-2a+4)$

キ、ク：

$x^3 + ax^2 + b$ は $g(x)$ で割り切れるから、余りが $0$ になる。

$-2a+4 = 0$ より、$a = 2$

$b-2a+4 = 0$ より、$b - 2(2) + 4 = 0$ なので、$b = 0$

ケ：

3次方程式 $x^3+2x^2 = 0$ の解は、$x^2(x+2) = 0$ より、$x = 0, 0, -2$

よって、解は $x=-1-i, -1+i, -2$

3. 最終的な答え

ア：$-1+i$

イ：$2$

ウ：$2$

エ：$a-2$

オ：$-2a+4$

カ：$b-2a+4$

キ：$2$

ク：$0$

ケ：$-2$