$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + b = 0$ が $-1-i$ を解に持つとき、共役複素数や二次式 $g(x)$ を求め、最終的に $a, b$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + b = 0$ が $-1-i$ を解に持つとき、共役複素数や二次式 $g(x)$ を求め、最終的に $a, b$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(ア) $-1-i$ が解であるとき、実数係数なので、その共役複素数も解である。共役複素数は $-1+i$ である。

(イ), (ウ) $g(x) = (x - (-1-i))(x - (-1+i)) = (x+1+i)(x+1-i) = (x+1)^2 - (i)^2 = x^2 + 2x + 1 - (-1) = x^2 + 2x + 2$

よって、イは 2、ウは 2。

(エ), (オ), (カ) $x^3 + ax^2 + b$ を $x^2 + 2x + 2$ で割る。

\begin{array}{r} x + (a-2) \\ x^2+2x+2 \overline{) x^3+ax^2+0x+b } \\ \underline{-(x^3+2x^2+2x)} \\ (a-2)x^2 - 2x + b \\ \underline{-((a-2)x^2 + 2(a-2)x + 2(a-2))} \\ (-2-2a+4)x + (b-2a+4) \\ (-2a+2)x + (b-2a+4) \end{array}

$x^3 + ax^2 + b = (x^2+2x+2)(x+(a-2)) + (-2a+2)x + (b-2a+4)$

$x^3 + ax^2 + b$ は $g(x)$ で割り切れるので、余りは 0。

よって、$-2a+2 = 0$ かつ $b-2a+4 = 0$。

$-2a+2=0$ より、$a=1$。

$b-2a+4=0$ に $a=1$ を代入すると、$b-2+4 = 0$ より、$b=-2$。

エは $a-2$ なので、$1-2 = -1$。

オは $-2a+2 = 0$。

カは $b-2a+4 = 0$。

(キ), (ク) $a = 1$, $b = -2$。

(ケ)

$x^3 + ax^2 + b = x^3 + x^2 - 2 = 0$

$x^3 + x^2 - 2 = (x^2+2x+2)(x-1) = 0$

$x = -1-i, -1+i, 1$

3. 最終的な答え

ア: -1+i

イ: 2

ウ: 2

エ: -1

オ: 0

カ: 0

キ: 1

ク: -2

ケ: 1