3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 4 = 0$ (*) が、解 $\alpha = \frac{1 - \sqrt{7}i}{2}$ を持つとき、係数 $a, b$ の値を求め、方程式の残りの解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 4 = 0$ (*) が、解 $\alpha = \frac{1 - \sqrt{7}i}{2}$ を持つとき、係数 $a, b$ の値を求め、方程式の残りの解を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha = \frac{1 - \sqrt{7}i}{2}$ とすると、共役複素数 $\bar{\alpha}$ も解となる。したがって、$\bar{\alpha} = \frac{1 + \sqrt{7}i}{2}$ である。

次に、$g(x) = (x - \alpha)(x - \bar{\alpha})$ を計算する。

\begin{align*}

g(x) &= (x - \frac{1 - \sqrt{7}i}{2})(x - \frac{1 + \sqrt{7}i}{2}) \\

&= x^2 - (\frac{1 - \sqrt{7}i}{2} + \frac{1 + \sqrt{7}i}{2})x + (\frac{1 - \sqrt{7}i}{2})(\frac{1 + \sqrt{7}i}{2}) \\

&= x^2 - (\frac{1 - \sqrt{7}i + 1 + \sqrt{7}i}{2})x + \frac{(1)^2 - (\sqrt{7}i)^2}{4} \\

&= x^2 - x + \frac{1 - (-7)}{4} \\

&= x^2 - x + \frac{8}{4} \\

&= x^2 - x + 2

\end{align*}

したがって、$g(x) = x^2 - x + 2$ である。

$x^3 + ax^2 + bx + 4$ を $g(x) = x^2 - x + 2$ で割る。

\begin{array}{c|cc cc}

\multicolumn{2}{r}{x} & +(a+1) \\

\cline{2-5}

x^2-x+2 & x^3 & +ax^2 & +bx & +4 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & -x^2 & +2x \\

\cline{2-4}

\multicolumn{2}{r}{0} & (a+1)x^2 & +(b-2)x & +4 \\

\multicolumn{2}{r}{} & (a+1)x^2 & -(a+1)x & +2(a+1) \\

\cline{3-5}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & (b-2+a+1)x & +4-2(a+1) \\

\end{array}

したがって、$x^3 + ax^2 + bx + 4 = (x^2 - x + 2)(x + a + 1) + (a + b - 1)x + (2 - 2a)$ である。

$x^3 + ax^2 + bx + 4$ は $g(x)$ で割り切れるので、余りは0である。

したがって、

\begin{cases}

a + b - 1 = 0 \\

2 - 2a = 0

\end{cases}

2 - 2a = 0 より、$a = 1$。

$a + b - 1 = 0$ に $a = 1$ を代入すると、$1 + b - 1 = 0$ より、$b = 0$。

よって、$a = 1$、$b = 0$。

$x^3 + x^2 + 4 = (x^2 - x + 2)(x + 2)$ となる。

したがって、$(x^2 - x + 2)(x + 2) = 0$ の解は、$x = \alpha, \bar{\alpha}, -2$ である。

3. 最終的な答え

$\bar{\alpha} = \frac{1+\sqrt{7}i}{2}$

$g(x) = x^2 - x + 2$

$x^3 + ax^2 + bx + 4 = (x^2 - x + 2)(x + 1 + 1) + 0x + 0 = (x^2 - x + 2)(x + 2)$

$a = 1$

$b = 0$

方程式の解は $x = \alpha, \bar{\alpha}, -2$ である。