公差が7の等差数列$\{a_n\}$があり、$a_5 = 33$を満たす。また、公比が正の等比数列$\{b_n\}$があり、$b_1+b_2 = 6$, $b_5 + b_6 = 96$を満たす。数列$\{b_n\}$の初項から第n項までの和を$S_n$とする。 (1) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表す。 (2) 数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$を用いて表す。また、$S_n$を$n$を用いて表す。 (3) $a_n$を3で割った余りを$c_n$ ($n=1, 2, 3, ...$)とし、$T_n = \sum_{k=1}^{3n} (1-c_k)S_k$ ($n=1, 2, 3, ...$)とする。$T_n$を$n$を用いて表す。

1. 問題の内容

公差が7の等差数列$\{a_n\}$があり、$a_5 = 33$を満たす。また、公比が正の等比数列$\{b_n\}$があり、$b_1+b_2 = 6$, $b_5 + b_6 = 96$を満たす。数列$\{b_n\}$の初項から第n項までの和を$S_n$とする。

(1) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表す。

(2) 数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$を用いて表す。また、$S_n$を$n$を用いて表す。

(3) $a_n$を3で割った余りを$c_n$ ($n=1, 2, 3, ...$)とし、$T_n = \sum_{k=1}^{3n} (1-c_k)S_k$ ($n=1, 2, 3, ...$)とする。$T_n$を$n$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列$\{a_n\}$の一般項は、$a_n = a_1 + (n-1)d$で表される。ここで、$d=7$、$a_5 = 33$であるから、

$a_5 = a_1 + 4d = a_1 + 4(7) = 33$

$a_1 = 33 - 28 = 5$

したがって、$a_n = 5 + (n-1)7 = 7n - 2$

(2) 等比数列$\{b_n\}$の一般項は、$b_n = b_1 r^{n-1}$で表される。ここで、$b_1+b_2 = 6$, $b_5 + b_6 = 96$であるから、

$b_1 + b_1r = b_1(1+r) = 6$

$b_1r^4 + b_1r^5 = b_1r^4(1+r) = 96$

$\frac{b_1r^4(1+r)}{b_1(1+r)} = \frac{96}{6} = 16$

$r^4 = 16$

$r > 0$より、$r = 2$

$b_1(1+2) = 6$

$3b_1 = 6$

$b_1 = 2$

したがって、$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

$S_n = \frac{b_1(r^n - 1)}{r-1} = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$

(3) $a_n = 7n - 2$を3で割った余り$c_n$を考える。

$a_n \equiv 7n - 2 \pmod{3}$

$a_n \equiv n - 2 \pmod{3}$

$c_n \equiv n - 2 \pmod{3}$

$c_n$は1, 2, 0を繰り返す数列となる。

$c_n = \begin{cases} 1 & (n \equiv 0 \pmod{3}) \\ 2 & (n \equiv 1 \pmod{3}) \\ 0 & (n \equiv 2 \pmod{3}) \end{cases}$

$T_n = \sum_{k=1}^{3n} (1-c_k)S_k$

$1-c_k = \begin{cases} 0 & (k \equiv 0 \pmod{3}) \\ -1 & (k \equiv 1 \pmod{3}) \\ 1 & (k \equiv 2 \pmod{3}) \end{cases}$

$T_n = \sum_{k=1}^{3n} (1-c_k)S_k = \sum_{m=0}^{n-1} (1-c_{3m+1})S_{3m+1} + (1-c_{3m+2})S_{3m+2} + (1-c_{3m+3})S_{3m+3}$

$= \sum_{m=0}^{n-1} (-1)(2^{3m+2}-2) + (1)(2^{3m+3}-2) + (0)(2^{3m+4}-2)$

$= \sum_{m=0}^{n-1} (-2^{3m+2}+2) + (2^{3m+3}-2) = \sum_{m=0}^{n-1} 2^{3m+3} - 2^{3m+2}$

$= \sum_{m=0}^{n-1} 2^{3m+2}(2-1) = \sum_{m=0}^{n-1} 2^{3m+2} = 2^2 \sum_{m=0}^{n-1} 8^m = 4 \frac{8^n - 1}{8-1}$

$T_n = \frac{4}{7} (8^n - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 7n - 2$

(2) $b_n = 2^n$, $S_n = 2^{n+1} - 2$

(3) $T_n = \frac{4}{7}(8^n - 1)$