$x^2 + ax + 18$ が因数分解できるような整数 $a$ の値は何通りあるか。

1. 問題の内容

$x^2 + ax + 18$ が因数分解できるような整数 $a$ の値は何通りあるか。

2. 解き方の手順

$x^2 + ax + 18$ が因数分解できるということは、整数 $m, n$ を用いて $x^2 + ax + 18 = (x + m)(x + n)$ と表せるということです。

この式を展開すると、

$x^2 + ax + 18 = x^2 + (m + n)x + mn$

となります。

したがって、$a = m + n$ かつ $mn = 18$ となる整数 $m, n$ の組み合わせを考えれば良いことになります。

$mn = 18$ となる整数の組み合わせ $(m, n)$ は、次の通りです。

(1, 18), (2, 9), (3, 6), (6, 3), (9, 2), (18, 1), (-1, -18), (-2, -9), (-3, -6), (-6, -3), (-9, -2), (-18, -1)

それぞれの組み合わせについて、$a = m + n$ を計算します。

(1, 18)のとき、$a = 1 + 18 = 19$

(2, 9)のとき、$a = 2 + 9 = 11$

(3, 6)のとき、$a = 3 + 6 = 9$

(6, 3)のとき、$a = 6 + 3 = 9$

(9, 2)のとき、$a = 9 + 2 = 11$

(18, 1)のとき、$a = 18 + 1 = 19$

(-1, -18)のとき、$a = -1 + (-18) = -19$

(-2, -9)のとき、$a = -2 + (-9) = -11$

(-3, -6)のとき、$a = -3 + (-6) = -9$

(-6, -3)のとき、$a = -6 + (-3) = -9$

(-9, -2)のとき、$a = -9 + (-2) = -11$

(-18, -1)のとき、$a = -18 + (-1) = -19$

したがって、$a$ の値は、19, 11, 9, -19, -11, -9 の6通りです。

3. 最終的な答え

6通り