(6) $a>0, b>0$ のとき、不等式 $(a + \frac{3}{b})(3b + \frac{1}{a}) \ge 16$ が成り立つことを証明し、等号が成立するための必要十分条件を求める問題です。 (7) $x>0$ のとき、$\frac{x^2 + 8x + 17}{x+2}$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

(6) $a>0, b>0$ のとき、不等式 $(a + \frac{3}{b})(3b + \frac{1}{a}) \ge 16$ が成り立つことを証明し、等号が成立するための必要十分条件を求める問題です。

(7) $x>0$ のとき、$\frac{x^2 + 8x + 17}{x+2}$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(6)

まず、与えられた不等式の左辺を展開します。

$(a + \frac{3}{b})(3b + \frac{1}{a}) = 3ab + 1 + 9 + \frac{3}{ab} = 3ab + \frac{3}{ab} + 10$

相加相乗平均の不等式より、$3ab + \frac{3}{ab} \ge 2\sqrt{3ab \cdot \frac{3}{ab}} = 2\sqrt{9} = 6$ が成り立ちます。

したがって、$3ab + \frac{3}{ab} + 10 \ge 6 + 10 = 16$ となり、与えられた不等式が成り立つことが証明されました。

等号が成立するのは、$3ab = \frac{3}{ab}$ のときなので、$(ab)^2 = 1$ となります。$a>0, b>0$ より $ab=1$ が必要十分条件です。

(7)

$\frac{x^2 + 8x + 17}{x+2}$ を変形します。

$x^2 + 8x + 17 = (x+2)(x+6) + 5$ と書けるので、

$\frac{x^2 + 8x + 17}{x+2} = \frac{(x+2)(x+6) + 5}{x+2} = x+6 + \frac{5}{x+2}$

$x+2 > 0$ なので、相加相乗平均の不等式より、

$x+2 + \frac{5}{x+2} \ge 2\sqrt{(x+2) \cdot \frac{5}{x+2}} = 2\sqrt{5}$

よって、$x+6 + \frac{5}{x+2} = x+2 + \frac{5}{x+2} + 4 \ge 2\sqrt{5} + 4$

最小値を与える $x$ は、$x+2 = \frac{5}{x+2}$ のときなので、$(x+2)^2 = 5$

$x+2 = \sqrt{5}$ より、$x = \sqrt{5} - 2$

$x>0$ の条件を満たすので、この $x$ の値で最小値をとります。

3. 最終的な答え

(6)

不等式の証明： $(a + \frac{3}{b})(3b + \frac{1}{a}) \ge 16$ は成り立つ

等号成立条件： $ab=1$

(7)

最小値：$4 + 2\sqrt{5}$

そのときの $x$ の値： $x = \sqrt{5} - 2$