与えられた9つの行列について、ある行列の左側からかけると、どのような基本変形を施すことになるかを答える問題です。行列は3x3または4x4の正方行列です。

1. 問題の内容

与えられた9つの行列について、ある行列の左側からかけると、どのような基本変形を施すことになるかを答える問題です。行列は3x3または4x4の正方行列です。

2. 解き方の手順

ある行列$A$に、与えられた行列$E$を左からかけると$EA$となります。このとき、$E$がどのような基本行列であるかを考えることで、$EA$が$A$にどのような基本変形を施した結果になるかを判断します。基本変形は以下の3種類です。

* 行の入れ替え

* 行のスカラー倍

* ある行のスカラー倍を別の行に加える

それぞれの行列$E$について、基本変形を特定する手順は以下の通りです。

(1)

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

これは2行目を3倍する操作に対応します。

(2)

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

これは3行目を-2倍する操作に対応します。

(3)

$E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

これは1行目と3行目を入れ替える操作に対応します。

(4)

$E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

これは1行目と3行目を入れ替える操作に対応します。(3)と同じです。

(5)

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

これは3行目の2倍を2行目から引く操作に対応します。(あるいは2行目に3行目の-2倍を加える)

(6)

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

これは1行目の4倍を2行目に加える操作に対応します。

(7)

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

これは2行目の-1倍を3行目に加える操作に対応します。(あるいは3行目に2行目の-1倍を加える)

(8)

$E = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

これは1行目と2行目を入れ替える操作に対応します。

(9)

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

これは2行目の-1倍を3行目に加える操作に対応します。(あるいは3行目に2行目の-1倍を加える)(7)と同じです。

3. 最終的な答え

(1) 2行目を3倍する。

(2) 3行目を-2倍する。

(3) 1行目と3行目を入れ替える。

(4) 1行目と3行目を入れ替える。

(5) 2行目に3行目の-2倍を加える。

(6) 2行目に1行目の4倍を加える。

(7) 3行目に2行目の-1倍を加える。

(8) 1行目と2行目を入れ替える。

(9) 3行目に2行目の-1倍を加える。