関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 1$ ($0 \le x \le 1$)の最大値 $M(a)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 1$ ($0 \le x \le 1$)の最大値 $M(a)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 2ax) + 1 = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 1 = -(x-a)^2 + a^2 + 1$

したがって、放物線 $C$ の頂点は $(a, a^2 + 1)$ であり、軸の方程式は $x = a$ です。

次に、定義域 $0 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最大値を、軸の位置によって場合分けして求めます。

(i) $a < 0$ のとき

定義域内で $f(x)$ は単調減少なので、$x=0$ で最大値をとります。

$M(a) = f(0) = -0^2 + 2a(0) + 1 = 1$

(ii) $0 \le a < 1$ のとき

頂点 $(a, a^2+1)$ が定義域内に含まれるので、$x=a$ で最大値をとります。

$M(a) = f(a) = a^2 + 1$

(iii) $a \ge 1$ のとき

定義域内で $f(x)$ は単調増加なので、$x=1$ で最大値をとります。

$M(a) = f(1) = -1^2 + 2a(1) + 1 = -1 + 2a + 1 = 2a$

3. 最終的な答え

ア: $(a, a^2 + 1)$

イ: $a$

ウ: $0$

エ: $1$

オ: $0$

カ: $1$

キ: $2$

ク: $0$