関数 $f(x) = -x^2 - 2ax + a^2 + 1$ （$-1 \le x \le 3$）の最小値 $m(a)$ を求める。放物線 $C$ は $f(x)$ のグラフであり、$C$ の頂点と軸の方程式を求め、$a$ の値の範囲によって最小値 $m(a)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 - 2ax + a^2 + 1$ （$-1 \le x \le 3$）の最小値 $m(a)$ を求める。放物線 $C$ は $f(x)$ のグラフであり、$C$ の頂点と軸の方程式を求め、$a$ の値の範囲によって最小値 $m(a)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = -(x^2 + 2ax) + a^2 + 1$

$f(x) = -(x^2 + 2ax + a^2 - a^2) + a^2 + 1$

$f(x) = -(x+a)^2 + a^2 + a^2 + 1$

$f(x) = -(x+a)^2 + 2a^2 + 1$

したがって、頂点の座標は $(-a, 2a^2 + 1)$ であり、軸の方程式は $x = -a$ である。

(i) $a > -1$ のとき、軸 $x=-a$ の位置によって最小値が変わる。

- $-a \ge 3$ すなわち $a \le -3$ のとき、$x=3$ で最小値をとる。

$f(3) = -3^2 - 2a(3) + a^2 + 1 = -9 - 6a + a^2 + 1 = a^2 - 6a - 8$

- $-1 \le -a < 3$ すなわち $-3 < a \le 1$ のとき、$x=-1$ で最小値をとる。

$f(-1) = -(-1)^2 - 2a(-1) + a^2 + 1 = -1 + 2a + a^2 + 1 = a^2 + 2a$

$a > -1$ の条件と合わせて、$a$ の範囲を考える。

$a > -1$ と $a \le -3$ は同時に満たされないため、$-3 < a \le -1$ は考慮する必要がない。

$-1 < a \le 1$ のとき、$m(a) = a^2 + 2a$.

(ii) $a \le -1$ のとき、軸 $x=-a$ の位置によって最小値が変わる。

- $-a \ge 3$ すなわち $a \le -3$ のとき、$x=3$ で最小値をとる。

$f(3) = -3^2 - 2a(3) + a^2 + 1 = -9 - 6a + a^2 + 1 = a^2 - 6a - 8$

- $-1 \le -a < 3$ すなわち $-3 < a \le 1$ のとき、$x=-1$ で最小値をとる。

$f(-1) = -(-1)^2 - 2a(-1) + a^2 + 1 = -1 + 2a + a^2 + 1 = a^2 + 2a$

$a \le -1$ の条件と合わせて、$a$ の範囲を考える。

$a \le -1$ と $-3 < a \le 1$ より、$-3 < a \le -1$ のとき、$m(a) = a^2 + 2a$.

$a \le -3$ のとき、$m(a) = a^2 - 6a - 8$.

したがって、$a \le -1$ のとき、$m(a) = a^2 + 2a$.

(i) $a > -1$ のとき、$m(a) = a^2 + 2a$.

(ii) $a \le -1$ のとき、$m(a) = a^2 + 2a$.

ア: $(-a, 2a^2+1)$

イ: $-a$

ウ: $2$

エ: $0$

オ: $2$

カ: $0$

3. 最終的な答え

ア: $(-a, 2a^2+1)$

イ: $-a$

(i) ウ: $2$, エ: $0$

(ii) オ: $2$, カ: $0$