与えられた画像には、複数の数学の問題が含まれています。ここでは、以下の問題について解説します。 (1) $x = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$のとき、以下の値を求めよ。 (i) $x+y$ (ii) $xy$ (iii) $x^2+y^2$ (2) 次の式を因数分解せよ。 (i) $3x^2-7x+2$ (ii) $x^2+9y^2-6xy+2x-6y$ (3) 100以上の整数の中で5で割ると余り1または2である数を小さい順に並べたとき、51番目の数を求めよ。 (4) a, bを整数とする。2次関数 $y = -3x^2$ について、$x$の値の範囲が $a \le x \le b$ のとき、$y$の値の範囲が $-12 \le y \le 0$ となるような(a, b)の組を考える。 (i) $a=-1$のとき、$b$の値を求めよ。 (5) 中心O半径1の円Cの直径を左右の延長上に点A, Bをとり OA=2, OB=2とする。A, Bを通り円Cに接する円C' の半径を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた画像には、複数の数学の問題が含まれています。ここでは、以下の問題について解説します。

(1) $x = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$のとき、以下の値を求めよ。

(i) $x+y$

(ii) $xy$

(iii) $x^2+y^2$

(2) 次の式を因数分解せよ。

(i) $3x^2-7x+2$

(ii) $x^2+9y^2-6xy+2x-6y$

(3) 100以上の整数の中で5で割ると余り1または2である数を小さい順に並べたとき、51番目の数を求めよ。

(4) a, bを整数とする。2次関数 $y = -3x^2$ について、$x$の値の範囲が $a \le x \le b$ のとき、$y$の値の範囲が $-12 \le y \le 0$ となるような(a, b)の組を考える。

(i) $a=-1$のとき、$b$の値を求めよ。

(5) 中心O半径1の円Cの直径を左右の延長上に点A, Bをとり OA=2, OB=2とする。A, Bを通り円Cに接する円C' の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

(i) $x+y$を計算する。

$x+y = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{2\sqrt{7}}{7-5} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

(ii) $xy$を計算する。

$xy = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{1}{7-5} = \frac{1}{2}$

(iii) $x^2+y^2$を計算する。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 7 - 1 = 6$

(2)

(i) $3x^2-7x+2$を因数分解する。

$3x^2-7x+2 = (3x-1)(x-2)$

(ii) $x^2+9y^2-6xy+2x-6y$を因数分解する。

$x^2+9y^2-6xy+2x-6y = (x-3y)^2+2(x-3y) = (x-3y)(x-3y+2)$

(3)

100以上の整数で5で割ると余り1または2である数を小さい順に並べる。

余りが1の数列: 101, 106, 111,... 一般項は $a_n=101+5(n-1)$

余りが2の数列: 102, 107, 112,... 一般項は $b_n=102+5(n-1)$

これらを小さい順に並べた数列を考える。51番目の数は、$a_n$か$b_n$のどちらかの項である。

もし全部$a_n$の項だとすると，$n$番目の数は$101+5(n-1)$となる。51番目の数は$101 + 5(51-1) = 101+250 = 351$。

もし全部$b_n$の項だとすると，$n$番目の数は$102+5(n-1)$となる。51番目の数は$102 + 5(51-1) = 102+250 = 352$。

数列は、$a_1, b_1, a_2, b_2, ... a_n, b_n, ...$のように並ぶと考えられる。

51番目ということは、$a_{26}, b_{25}$まで並んだ次の数なので、$a_{26}$である。

$a_{26} = 101+5(26-1) = 101+5(25) = 101+125 = 226$

$b_{26} = 102+5(26-1) = 102+5(25) = 102+125 = 227$

51番目の数は、$a_{26}$か$b_{26}$に近い数になると思われる。

5で割ると余りが1または2になる100以上の整数を小さい順に並べたとき、最初の数は101であり、2番目の数は102である。

51番目の数を$N$とすると、$N = 100+k$ ($k$は整数) と表せる。

$k$は、5で割ると余りが1または2になる数の個数となる。

$1,2,6,7,11,12,...$ これらは5で割ると余りが1, 2になる数。

51番目の数は、25番目と26番目の余りが1または2になる数のどちらか。

51番目の数は、$5*25 + 1 = 126$ または $5*25 + 2 = 127$

$100 + 126 = 226$ か $100 + 127 = 227$

51番目の数は226。

(4)

(i) $a=-1$のとき、$y = -3x^2$ で $-1 \le x \le b$ の範囲で $-12 \le y \le 0$ となるような$b$を求める。

$x=-1$のとき、$y = -3(-1)^2 = -3$ なので $-12 \le -3 \le 0$ を満たす。

$y=-12$のとき、$-12 = -3x^2$ より $x^2 = 4$ なので、$x=\pm 2$。

$a=-1$のとき、$y$の値の範囲が$-12 \le y \le 0$となる$x$の範囲は、$-2 \le x \le 2$。

$-1 \le x \le b$と $-2 \le x \le 2$ を比較すると、$b = 2$。

(5)

中心O、半径1の円Cがある。直線AB上にA,Bがあり、OA=OB=2である。

A, Bを通り円Cに接する円C'の半径をrとする。円Cの中心から円C'の中心までの距離をdとする。

方べきの定理より、OA^2 = (d-r)(d+r) = d^2 - r^2 = 4。

円Cの中心Oから、ABに垂線を下ろすと、その長さは1。円C'の中心からABに垂線を下ろすと、その長さはr。

OO' = d。OO'とABが作る直角三角形において、$1^2 + (2-r)^2 = d^2$。$d^2 = 1 + (2-r)^2$。

$d^2 - r^2 = 4$に代入して、$1 + (2-r)^2 - r^2 = 4$。

$1+4-4r+r^2-r^2 = 4$。$5-4r = 4$。$4r=1$。$r=\frac{1}{4}$。

3. 最終的な答え

(1)

(i) $x+y = \sqrt{7}$

(ii) $xy = \frac{1}{2}$

(iii) $x^2+y^2 = 6$

(2)

(i) $(3x-1)(x-2)$

(ii) $(x-3y)(x-3y+2)$

(3) 226

(4)

(i) $b = 2$

(5) $\frac{1}{4}$