すべての実数 $x$ に対して、不等式 $e^x + e^{-x} \geq x^2 + 2$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $e^x + e^{-x} \geq x^2 + 2$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = e^x + e^{-x} - x^2 - 2$ を定義します。

この不等式を示すには、$f(x) \geq 0$ をすべての実数 $x$ に対して示せば良いです。

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = e^0 + e^{-0} - 0^2 - 2 = 1 + 1 - 0 - 2 = 0$.

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = e^x - e^{-x} - 2x$

$f'(x)$ の導関数 $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = e^x + e^{-x} - 2$

ここで、$g(x) = e^x + e^{-x}$ と置くと、$g(x)$ は $x=0$ で最小値 $g(0) = e^0 + e^{-0} = 1 + 1 = 2$ を取ります。

したがって、$e^x + e^{-x} \geq 2$ です。

よって、$f''(x) = e^x + e^{-x} - 2 \geq 0$ です。

$f''(x) \geq 0$ は $f'(x)$ が単調増加であることを意味します。

$f'(0) = e^0 - e^{-0} - 2(0) = 1 - 1 - 0 = 0$ なので、$f'(x) \geq 0$ for $x > 0$ かつ $f'(x) \leq 0$ for $x < 0$ です。

これは、$f(x)$ が $x=0$ で最小値を取ることを意味します。

$f(0) = 0$ であり、$f(x)$ は $x=0$ で最小値を取るので、$f(x) \geq 0$ です。

したがって、$e^x + e^{-x} \geq x^2 + 2$ がすべての実数 $x$ に対して成り立ちます。

3. 最終的な答え

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $e^x + e^{-x} \geq x^2 + 2$ が成り立つ。