正の偶数の列を、第$n$群に$n$個の数が入るように群に分ける。第50群に入るすべての数の和を求める。

1. 問題の内容

正の偶数の列を、第$n$群に$n$個の数が入るように群に分ける。第50群に入るすべての数の和を求める。

2. 解き方の手順

まず、第$n$群の最初の数が、元の数列の何番目かを求める。

第$n$群の直前までには、1群から(n-1)群までの数が含まれるので、その個数の合計は、

$1+2+3+ \cdots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ 個である。

したがって、第$n$群の最初の数は、元の数列の$\frac{(n-1)n}{2}+1$番目の数である。元の数列は偶数の列なので、$k$番目の数は$2k$である。

よって、第$n$群の最初の数は、

$2 \left( \frac{(n-1)n}{2} + 1 \right) = (n-1)n + 2 = n^2-n+2$ である。

第$n$群には$n$個の数が入るので、第$n$群の最後の数は、

$n^2 -n + 2 + 2(n-1) = n^2 - n + 2 + 2n -2 = n^2 + n$ である。

したがって、第$n$群は、$n^2 -n + 2, n^2 - n + 4, \dots, n^2+n$ という等差数列である。

第50群の最初の数は $50^2 - 50 + 2 = 2500 - 50 + 2 = 2452$ であり、第50群の最後の数は $50^2 + 50 = 2500 + 50 = 2550$ である。

第50群には50個の数が入るので、第50群の和は、

$\frac{50}{2} (2452 + 2550) = 25 (5002) = 125050$

3. 最終的な答え

125050