整数を要素とする2つの集合$A=\{-3, 2, a^2-9a+25, 2a+3\}$と$B=\{-2, a^2-4a-10, a^2-5a+1, a+6, 16\}$において、$A \cap B = \{2, 7\}$とする。 (1) $A \cup B$を求める。 (2) $\overline{A} \cap B$を求める。

1. 問題の内容

整数を要素とする2つの集合$A=\{-3, 2, a^2-9a+25, 2a+3\}$と$B=\{-2, a^2-4a-10, a^2-5a+1, a+6, 16\}$において、$A \cap B = \{2, 7\}$とする。

(1) $A \cup B$を求める。

(2) $\overline{A} \cap B$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$A \cap B = \{2, 7\}$であることから、$A$と$B$はともに$2$と$7$を要素に持つことがわかる。

$A$はすでに$2$を要素に持っているので、$a^2-9a+25$か$2a+3$のどちらかが$7$である必要がある。

場合1: $a^2 - 9a + 25 = 7$のとき

$a^2 - 9a + 18 = 0$

$(a-3)(a-6) = 0$

$a=3$または$a=6$

場合2: $2a+3 = 7$のとき

$2a = 4$

$a=2$

次に、$a$の各値に対して、$B$の要素を確認する。

$a=3$のとき、$B = \{-2, 9-12-10, 9-15+1, 3+6, 16\} = \{-2, -13, -5, 9, 16\}$。このとき、$B$は$7$を要素に持たないので、$a=3$は不適。

$a=6$のとき、$B = \{-2, 36-24-10, 36-30+1, 6+6, 16\} = \{-2, 2, 7, 12, 16\}$。このとき、$B$は$7$を要素に持つ。また、$A=\{-3, 2, 36-54+25, 12+3\} = \{-3, 2, 7, 15\}$となる。

$a=2$のとき、$B = \{-2, 4-8-10, 4-10+1, 2+6, 16\} = \{-2, -14, -5, 8, 16\}$。このとき、$B$は$7$を要素に持たないので、$a=2$は不適。

したがって、$a=6$である。

$A = \{-3, 2, 7, 15\}$, $B = \{-2, 2, 7, 12, 16\}$

$A \cup B = \{-3, -2, 2, 7, 12, 15, 16\}$

(2)

$\overline{A} \cap B = B \setminus A$、すなわち$B$の要素のうち、$A$の要素でないもの。

$A = \{-3, 2, 7, 15\}$, $B = \{-2, 2, 7, 12, 16\}$

$\overline{A} \cap B = \{-2, 12, 16\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cup B = \{-3, -2, 2, 7, 12, 15, 16\}$

(2) $\overline{A} \cap B = \{-2, 12, 16\}$