双曲線 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ が、2直線 $x=2$ と $y=-1$ を漸近線とし、点 $(3, 2)$ を通る。このときの関数を求めよ。

1. 問題の内容

双曲線 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ が、2直線 $x=2$ と $y=-1$ を漸近線とし、点 $(3, 2)$ を通る。このときの関数を求めよ。

2. 解き方の手順

双曲線の漸近線が $x=2$ であることから、$cx+d = 0$ のとき $x=2$ となる。したがって、

$2c + d = 0$

$d = -2c$

次に、漸近線が $y=-1$ であることから、

$\lim_{x \to \infty} \frac{ax+b}{cx+d} = -1$

$\frac{a}{c} = -1$

$a = -c$

したがって、関数は

$y = \frac{-cx+b}{cx-2c} = \frac{-x+b/c}{x-2}$

と表せる。ここで、$k = b/c$ とおくと、

$y = \frac{-x+k}{x-2}$

この双曲線は点 $(3, 2)$ を通るので、

$2 = \frac{-3+k}{3-2}$

$2 = -3+k$

$k = 5$

したがって、

$y = \frac{-x+5}{x-2}$

係数を求めるために、$y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形に戻す。

$y = \frac{-x+5}{x-2}$ より、$a=-1, b=5, c=1, d=-2$。

3. 最終的な答え

$y = \frac{-x+5}{x-2}$