2次関数 $y = -3x^2 + 4x + k$ (ただし、$k$ は実数の定数) のグラフを $C$ とする。 (1) $C$ の頂点の座標を求める。 (2) $C$ が $x$ 軸と共有点をもつときの $k$ の値の範囲を求める。 (3) $C$ が $x$ 軸と 2 点で交わり、2 点間の長さが $\frac{4}{3}$ であるときの $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -3x^2 + 4x + k$ (ただし、$k$ は実数の定数) のグラフを $C$ とする。

(1) $C$ の頂点の座標を求める。

(2) $C$ が $x$ 軸と共有点をもつときの $k$ の値の範囲を求める。

(3) $C$ が $x$ 軸と 2 点で交わり、2 点間の長さが $\frac{4}{3}$ であるときの $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

与えられた2次関数を平方完成する。

$y = -3x^2 + 4x + k$

$y = -3(x^2 - \frac{4}{3}x) + k$

$y = -3(x^2 - \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2) + k$

$y = -3(x - \frac{2}{3})^2 + 3(\frac{4}{9}) + k$

$y = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + k$

よって、頂点の座標は $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3} + k)$

(2) $C$ が $x$ 軸と共有点をもつときの $k$ の値の範囲を求める。

$C$ が $x$ 軸と共有点をもつためには、頂点の $y$ 座標が 0 以上である必要がある。なぜなら、上に凸なグラフであるため。

$\frac{4}{3} + k \geq 0$

$k \geq -\frac{4}{3}$

(3) $C$ が $x$ 軸と 2 点で交わり、2 点間の長さが $\frac{4}{3}$ であるときの $k$ の値を求める。

$y = -3x^2 + 4x + k = 0$ の解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とすると、$\beta - \alpha = \frac{4}{3}$ である。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = \frac{4}{3}$

$\alpha \beta = -\frac{k}{3}$

$(\beta - \alpha)^2 = (\beta + \alpha)^2 - 4\alpha \beta$

$(\frac{4}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2 - 4(-\frac{k}{3})$

$\frac{16}{9} = \frac{16}{9} + \frac{4k}{3}$

$0 = \frac{4k}{3}$

$k = 0$

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3} + k)$

(2) $k \geq -\frac{4}{3}$

(3) $k = 0$