問題文は、漸近線が $x=3$ と $y=2$ であり、点 $(1, 1)$ を通る双曲線の関数を $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ の形で表すように求めています。

1. 問題の内容

問題文は、漸近線が $x=3$ と $y=2$ であり、点 $(1, 1)$ を通る双曲線の関数を $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ の形で表すように求めています。

2. 解き方の手順

まず、漸近線が $x=3$ であることから、$cx+d = 0$ となる $x$ が $3$ である必要があります。したがって、$3c + d = 0$ が成り立ちます。つまり、$d = -3c$ となります。

次に、漸近線が $y=2$ であることから、$y = \frac{a}{c} = 2$ が成り立ちます。したがって、$a = 2c$ となります。

これらの結果を $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ に代入すると、

$y = \frac{2cx + b}{cx - 3c} = \frac{2x + \frac{b}{c}}{x - 3}$ となります。ここで、$B = \frac{b}{c}$ とおくと、

$y = \frac{2x + B}{x - 3}$ となります。

点 $(1, 1)$ を通るので、$x=1$, $y=1$ を代入すると、

$1 = \frac{2(1) + B}{1 - 3} = \frac{2 + B}{-2}$

$-2 = 2 + B$

$B = -4$

したがって、$y = \frac{2x - 4}{x - 3}$ となります。

元の形に戻すと、$a = 2c$, $b = -4c$, $d = -3c$ となります。ここで、$c$ で割ることを考えると、$c$ は何でも良いので、例えば $c=1$ とすると、$a=2, b=-4, c=1, d=-3$ となります。

3. 最終的な答え

$y = \frac{2x - 4}{x - 3}$