$a$を定数とする。関数 $y = 2x^2 - 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。関数 $y = 2x^2 - 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4ax - a = 2(x^2 - 2ax) - a = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - a = 2(x - a)^2 - 2a^2 - a$

よって、軸は $x = a$ です。定義域 $0 \le x \le 2$ における最大値を考えるために、軸の位置によって場合分けを行います。

(i) $a < 0$ のとき

定義域内で関数は単調増加するので、$x = 2$ で最大値をとります。

$x = 2$ を代入すると、 $y = 2(2)^2 - 4a(2) - a = 8 - 8a - a = 8 - 9a$

よって、最大値は $8 - 9a$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき

$x = 0$または$x = 2$で最大値をとる可能性があります。$x = 0$を代入すると、$y = -a$、$x = 2$を代入すると、$y = 8 - 9a$。

$8 - 9a - (-a) = 8 - 8a$。

ここで、$0 \le a \le 2$なので、$8 - 8a$の正負は決まりません。

$8 - 8a \ge 0 \iff a \le 1$

$8 - 8a < 0 \iff a > 1$

(ii-1) $0 \le a \le 1$のとき

$x=2$で最大値をとり、最大値は$8-9a$。

(ii-2) $1 < a \le 2$のとき

$x=0$で最大値をとり、最大値は$-a$。

(iii) $a > 2$ のとき

定義域内で関数は単調減少するので、$x = 0$ で最大値をとります。

$x = 0$ を代入すると、 $y = -a$

よって、最大値は $-a$

したがって、

$a < 0$ のとき、最大値は $8 - 9a$

$0 \le a \le 1$ のとき、最大値は $8 - 9a$

$1 < a \le 2$ のとき、最大値は $-a$

$a > 2$ のとき、最大値は $-a$

まとめると、

$a \le 1$ のとき、最大値は $8 - 9a$

$a > 1$ のとき、最大値は $-a$

3. 最終的な答え

$a \le 1$ のとき、最大値は $8 - 9a$

$a > 1$ のとき、最大値は $-a$