$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ を計算し、簡略化する問題です。与えられた計算過程の空欄を埋めて、最終的な答えを求める必要があります。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ を計算し、簡略化する問題です。与えられた計算過程の空欄を埋めて、最終的な答えを求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$

分子を展開します。

$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3$

分母を展開します。

$(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

したがって、

$\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{5-3} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2}$

分子の各項を2で割ります。

$\frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = \frac{2(4 + \sqrt{15})}{2} = 4 + \sqrt{15}$

与えられた計算過程に沿って空欄を埋めます。

$\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{5-3} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = \frac{2(4 + \sqrt{15})}{2} = 4 + \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$4 + \sqrt{15}$