与えられた数の分母を有理化し、空欄を埋める問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた数の分母を有理化し、空欄を埋める問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) 分母を有理化するために、分母の共役な複素数である$\sqrt{5}-\sqrt{2}$を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \times (\sqrt{5}-\sqrt{2})}$

$= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2}$

$= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

よって、ア = 3, イ = $\sqrt{3}$, ウ = 3

(2) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \times (\sqrt{5}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$

よって、エ = $\sqrt{5}$, オ = $\sqrt{2}$, カ = $\sqrt{5}$, キ = $\sqrt{2}$, ク = 5, ケ = $\sqrt{5}$, コ = $\sqrt{2}$, サ = 3