与えられた数列 $S$ の和を求める問題です。 $S = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \cdots + \frac{1}{1+2+3+\cdots+n}$

1. 問題の内容

与えられた数列 $S$ の和を求める問題です。

$S = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \cdots + \frac{1}{1+2+3+\cdots+n}$

2. 解き方の手順

まず、$1+2+3+\cdots+k$ の部分を簡単にします。これは初項1、末項k、項数kの等差数列の和なので、

$1+2+3+\cdots+k = \frac{k(k+1)}{2}$

と表せます。したがって、数列$S$は以下のように書き換えられます。

$S = 1 + \frac{1}{\frac{2(2+1)}{2}} + \frac{1}{\frac{3(3+1)}{2}} + \cdots + \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}$

$S = 1 + \frac{2}{2(3)} + \frac{2}{3(4)} + \cdots + \frac{2}{n(n+1)}$

$S = 1 + 2 \left( \frac{1}{2(3)} + \frac{1}{3(4)} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} \right)$

ここで、$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$という部分分数分解を利用します。

すると、

$S = 1 + 2 \left( \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \right)$

括弧の中は、隣り合う項が打ち消し合う（telescoping）ので、

$S = 1 + 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} \right)$

$S = 1 + 1 - \frac{2}{n+1}$

$S = 2 - \frac{2}{n+1}$

$S = \frac{2(n+1) - 2}{n+1}$

$S = \frac{2n + 2 - 2}{n+1}$

$S = \frac{2n}{n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{2n}{n+1}$