点 $(x, y)$ を通り方向ベクトル $\ell_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$, $\ell_\phi = (\cos\phi, \sin\phi)$ をもつ直線をそれぞれ $l_\theta, l_\phi$ とし、$f(x, y)$ を以下のように定義する。 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ 方向微分 $g_1(x, y; \theta) = \frac{\partial f}{\partial \ell_\theta}(x, y)$, $g_2(x, y; \theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial \ell_\phi}(x, y; \theta)$ を考える。 (1) $g_1(0, 0; \theta)$ を求めよ。$f(x, y)$ は $(0, 0)$ で微分可能であるとして良い。 (2) $g_2(0, 0; 0, \pi/2)$ と $g_2(0, 0; \pi/2, 0)$ を求めよ。 (3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4)$ を求めよ。

1. 問題の内容

点 $(x, y)$ を通り方向ベクトル $\ell_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$, $\ell_\phi = (\cos\phi, \sin\phi)$ をもつ直線をそれぞれ $l_\theta, l_\phi$ とし、$f(x, y)$ を以下のように定義する。

$f(x, y) = \begin{cases}

\frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy & (x, y) \neq (0, 0) \\

0 & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}$

方向微分 $g_1(x, y; \theta) = \frac{\partial f}{\partial \ell_\theta}(x, y)$, $g_2(x, y; \theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial \ell_\phi}(x, y; \theta)$ を考える。

(1) $g_1(0, 0; \theta)$ を求めよ。$f(x, y)$ は $(0, 0)$ で微分可能であるとして良い。

(2) $g_2(0, 0; 0, \pi/2)$ と $g_2(0, 0; \pi/2, 0)$ を求めよ。

(3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $g_1(0, 0; \theta) = \frac{\partial f}{\partial \ell_\theta}(0, 0)$ を求める。

$f$ が $(0, 0)$ で微分可能であることから、

$\frac{\partial f}{\partial \ell_\theta}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0 + t\cos\theta, 0 + t\sin\theta) - f(0, 0)}{t}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta)}{t}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{\frac{2(t\cos\theta)^3(t\sin\theta) - 3(t\cos\theta)(t\sin\theta)^3}{(t\cos\theta)^2 + (t\sin\theta)^2} + (t\cos\theta)(t\sin\theta)}{t}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{\frac{2t^4\cos^3\theta\sin\theta - 3t^4\cos\theta\sin^3\theta}{t^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} + t^2\cos\theta\sin\theta}{t}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{2t^2\cos^3\theta\sin\theta - 3t^2\cos\theta\sin^3\theta + t^2\cos\theta\sin\theta}{t}$

$= \lim_{t \to 0} t(2\cos^3\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^3\theta + \cos\theta\sin\theta) = 0$

よって、 $g_1(0, 0; \theta) = 0$

(2) $g_2(0, 0; \theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial \ell_\phi}(0, 0; \theta)$ を求める。

$g_1(0, 0; \theta) = 0$ なので、定数関数の微分は 0 より $g_2(0, 0; \theta, \phi) = 0$.

したがって、 $g_2(0, 0; 0, \pi/2) = 0$ かつ $g_2(0, 0; \pi/2, 0) = 0$.

(3) $g_2(0, 0; \theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial \ell_\phi}(0, 0; \theta)$ を求める。

(2)と同様に、$g_1(0, 0; \theta) = 0$ なので、$g_2(0, 0; \theta, \phi) = 0$.

したがって、 $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4) = 0$.

3. 最終的な答え

(1) $g_1(0, 0; \theta) = 0$

(2) $g_2(0, 0; 0, \pi/2) = 0$, $g_2(0, 0; \pi/2, 0) = 0$

(3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4) = 0$