$\int \cos^3 x dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \cos^3 x dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

$\cos^3 x$ を $\cos^2 x \cdot \cos x$ に分解し、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて書き換える。

$$\int \cos^3 x dx = \int \cos^2 x \cdot \cos x dx = \int (1 - \sin^2 x) \cos x dx$$

ここで、$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となる。よって、

$$\int (1 - \sin^2 x) \cos x dx = \int (1 - u^2) du$$

これを計算すると、

$$\int (1 - u^2) du = u - \frac{1}{3} u^3 + C$$

ここで、$u = \sin x$ を代入すると、

$$u - \frac{1}{3} u^3 + C = \sin x - \frac{1}{3} \sin^3 x + C$$

3. 最終的な答え

$\sin x - \frac{1}{3} \sin^3 x + C$