与えられた3つの放物線 $y=x^2$, $y=x^2+1$, $y=x^2-1$ を同じ図にスケッチし、方程式 $x^2=0$, $x^2+1=0$, $x^2-1=0$ の実数解を求める問題です。

## 問題番号1

1. 問題の内容

与えられた3つの放物線 $y=x^2$, $y=x^2+1$, $y=x^2-1$ を同じ図にスケッチし、方程式 $x^2=0$, $x^2+1=0$, $x^2-1=0$ の実数解を求める問題です。

2. 解き方の手順

* **放物線のスケッチ:**

* $y=x^2$ は原点を頂点とする上に開いた放物線です。

* $y=x^2+1$ は $y=x^2$ を $y$ 軸方向に1だけ平行移動したものです。

* $y=x^2-1$ は $y=x^2$ を $y$ 軸方向に-1だけ平行移動したものです。

* **方程式の実数解:**

* $x^2 = 0$ の解は $x = 0$ です。

* $x^2 + 1 = 0$ は $x^2 = -1$ となり、実数解を持ちません。

* $x^2 - 1 = 0$ は $x^2 = 1$ となり、$x = \pm 1$ が解です。

3. 最終的な答え

* **放物線のスケッチ:** （グラフは省略）

* **方程式の実数解:**

* $x^2 = 0$ の実数解: $x = 0$

* $x^2 + 1 = 0$ の実数解: なし

* $x^2 - 1 = 0$ の実数解: $x = 1$, $x = -1$

## 問題番号2

1. 問題の内容

与えられた3つの放物線 $y = -x^2$, $y = 4 - x^2$, $y = -4 - x^2$ を同じ図にスケッチし、$x$軸との交点の個数を調べる問題です。

2. 解き方の手順

* **放物線のスケッチ:**

* $y = -x^2$ は原点を頂点とする下に開いた放物線です。

* $y = 4 - x^2$ は $y = -x^2$ を $y$ 軸方向に4だけ平行移動したものです。

* $y = -4 - x^2$ は $y = -x^2$ を $y$ 軸方向に-4だけ平行移動したものです。

* **x軸との交点:**

* $y = -x^2$ と $x$軸の交点は $(0, 0)$ であり、1点です。

* $y = 4 - x^2$ と $x$軸の交点は、$4 - x^2 = 0$ を解くと $x^2 = 4$ より $x = \pm 2$ なので、2点です。交点は $(2, 0)$, $(-2, 0)$。

* $y = -4 - x^2$ は常に負の値をとるため、$x$軸と交わりません。

3. 最終的な答え

* **(a) 2つの交点を持つグラフ:** $y = 4 - x^2$

* **(b) 1つの交点を持つグラフ:** $y = -x^2$

* **(c) 交点を持たないグラフ:** $y = -4 - x^2$

## 問題番号3

1. 問題の内容

与えられた3つの放物線 $y = x^2$, $y = 3x^2$, $y = \frac{1}{2}x^2$ を同じ図にスケッチし、$x^2$ の係数がグラフに与える影響を記述する問題です。

2. 解き方の手順

* **放物線のスケッチ:**

* $y = x^2$ は原点を頂点とする上に開いた標準的な放物線です。

* $y = 3x^2$ は $y = x^2$ よりも急な放物線です。$x^2$の係数が大きくなるとグラフは$y$軸方向に引き伸ばされたように狭まります。

* $y = \frac{1}{2}x^2$ は $y = x^2$ よりも緩やかな放物線です。$x^2$の係数が小さくなるとグラフは$x$軸方向に引き伸ばされたように広くなります。

* **$x^2$ の係数の影響:**

$y = ax^2$ の場合、$a$ の値が大きいほどグラフは $y$ 軸方向に狭まり、$a$ の値が小さいほどグラフは $x$ 軸方向に広がる。

3. 最終的な答え

$x^2$ の係数が大きいほど放物線は狭くなり、$x^2$ の係数が小さいほど放物線は広くなる。

## 問題番号4

1. 問題の内容

与えられた3つの放物線 $y = (x - 1)^2$, $y = (x - 1)^2 + 4$, $y = (x - 1)^2 - 4$ を同じ図にスケッチし、グラフ $y = (x - 1)^2$ から他のグラフを得る幾何変換の種類を特定する問題です。

2. 解き方の手順

* **放物線のスケッチ:**

* $y = (x - 1)^2$ は頂点が $(1, 0)$ の上に開いた放物線です。

* $y = (x - 1)^2 + 4$ は $y = (x - 1)^2$ を $y$ 軸方向に4だけ平行移動したものです。頂点は $(1, 4)$。

* $y = (x - 1)^2 - 4$ は $y = (x - 1)^2$ を $y$ 軸方向に-4だけ平行移動したものです。頂点は $(1, -4)$。

* **幾何変換の特定:**

* $y = (x - 1)^2$ から $y = (x - 1)^2 + 4$ および $y = (x - 1)^2 - 4$ は、$y$ 軸方向への平行移動によって得られます。

3. 最終的な答え

幾何変換は平行移動(translation)です。

## 問題番号5

1. 問題の内容

与えられた2つの放物線 $y = (x - 2)^2$ と $y = -(x - 2)^2$ を同じ図にスケッチし、これらのグラフが特定の直線に関して互いに反射であること、そしてその直線の式を求める問題です。

2. 解き方の手順

* **放物線のスケッチ:**

* $y = (x - 2)^2$ は頂点が $(2, 0)$ の上に開いた放物線です。

* $y = -(x - 2)^2$ は頂点が $(2, 0)$ の下に開いた放物線です。

* **反射軸の特定:**

* $y = (x - 2)^2$ と $y = -(x - 2)^2$ は $x$ 軸に関して互いに反射です。また、頂点が$(2,0)$にあることから、この2つのグラフは $x$ 軸、つまり $y = 0$ の直線に関して互いに反射の関係にあります。

3. 最終的な答え

これらの曲線は直線 $y = 0$ (x軸) に関して互いに反射です。

## 問題番号6

1. 問題の内容

与えられた3つの放物線 $y = x^2 - 4x + 3$, $y = x^2 - 4x + 4$, $y = x^2 - 4x + 5$ を同じ図にスケッチし、多項式 $x^2 - 4x + 3$, $x^2 - 4x + 4$, $x^2 - 4x + 5$ の零点を求める問題です。

2. 解き方の手順

* **放物線のスケッチと零点の計算:**

* $y = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$。零点は $x = 1, 3$。頂点は $x = (1 + 3) / 2 = 2$ で、$y = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$ より $(2, -1)$。

* $y = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$。零点は $x = 2$。頂点は $(2, 0)$。

* $y = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1$。零点なし。頂点は $(2, 1)$。

* **多項式の零点:**

* $x^2 - 4x + 3$ の零点は $x = 1, 3$。

* $x^2 - 4x + 4$ の零点は $x = 2$。

* $x^2 - 4x + 5$ の零点は実数解を持たない。

3. 最終的な答え

* $x^2 - 4x + 3$ の零点: $x = 1, 3$

* $x^2 - 4x + 4$ の零点: $x = 2$

* $x^2 - 4x + 5$ の零点: 実数解なし