不等式 $\sqrt{3x-1} > 2(x-1)$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{3x-1} > 2(x-1)$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{ }$ の中身が0以上になる条件から、$3x - 1 \ge 0$ なので、$x \ge \frac{1}{3}$ である必要があります。

次に、不等式の両辺を2乗することを考えます。

場合分けをします。

(i) $x-1 \ge 0$ つまり $x \ge 1$ のとき

不等式の両辺を2乗すると、

$3x - 1 > 4(x-1)^2$

$3x - 1 > 4(x^2 - 2x + 1)$

$3x - 1 > 4x^2 - 8x + 4$

$0 > 4x^2 - 11x + 5$

$4x^2 - 11x + 5 < 0$

この2次不等式を解くために、$4x^2 - 11x + 5 = 0$ の解を求めます。解の公式より、

$x = \frac{11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 80}}{8} = \frac{11 \pm \sqrt{41}}{8}$

$\frac{11 - \sqrt{41}}{8} < x < \frac{11 + \sqrt{41}}{8}$

ここで、$\sqrt{41} \approx 6.4$ より、

$\frac{11 - 6.4}{8} \approx \frac{4.6}{8} \approx 0.575$

$\frac{11 + 6.4}{8} \approx \frac{17.4}{8} \approx 2.175$

したがって、$4x^2 - 11x + 5 < 0$ の解は$\frac{11 - \sqrt{41}}{8} < x < \frac{11 + \sqrt{41}}{8}$ です。

$x \ge 1$ の条件と合わせると、$1 \le x < \frac{11 + \sqrt{41}}{8}$ となります。

(ii) $x-1 < 0$ つまり $x < 1$ のとき

$x \ge \frac{1}{3}$ と $x < 1$ より、$\frac{1}{3} \le x < 1$

このとき、$\sqrt{3x-1} > 2(x-1)$ の右辺は負の数になるので、左辺の$\sqrt{3x-1}$が常に正の数であることから不等式は常に成立します。

したがって、$\frac{1}{3} \le x < 1$ が解となります。

(i), (ii) をまとめると、$\frac{1}{3} \le x < \frac{11 + \sqrt{41}}{8}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \le x < \frac{11 + \sqrt{41}}{8}$