多項式Aを、与えられた多項式で割ったときの商と余りから、多項式Aを求める問題です。 (1) Aを $6x+3$ で割ると、商が $4x-5$、余りが $6$ (2) Aを $3x^2+2x-5$ で割ると、商が $8x+3$、余りが $2x+1$ (3) Aを $3x^2-x-4$ で割ると、商が $2x^2+3x-1$、余りが $2x-1$

1. 問題の内容

多項式Aを、与えられた多項式で割ったときの商と余りから、多項式Aを求める問題です。

(1) Aを $6x+3$ で割ると、商が $4x-5$、余りが $6$

(2) Aを $3x^2+2x-5$ で割ると、商が $8x+3$、余りが $2x+1$

(3) Aを $3x^2-x-4$ で割ると、商が $2x^2+3x-1$、余りが $2x-1$

2. 解き方の手順

多項式Aは、割る多項式をB、商をQ、余りをRとすると、以下の式で表されます。

$A = BQ + R$

(1)

$B = 6x+3$

$Q = 4x-5$

$R = 6$

したがって、

$A = (6x+3)(4x-5) + 6$

$= 24x^2 -30x + 12x -15 + 6$

$= 24x^2 -18x -9$

(2)

$B = 3x^2+2x-5$

$Q = 8x+3$

$R = 2x+1$

したがって、

$A = (3x^2+2x-5)(8x+3) + 2x+1$

$= 24x^3 + 9x^2 + 16x^2 + 6x - 40x -15 + 2x + 1$

$= 24x^3 + 25x^2 - 32x -14$

(3)

$B = 3x^2-x-4$

$Q = 2x^2+3x-1$

$R = 2x-1$

したがって、

$A = (3x^2-x-4)(2x^2+3x-1) + 2x-1$

$= 6x^4 + 9x^3 - 3x^2 - 2x^3 - 3x^2 + x - 8x^2 - 12x + 4 + 2x - 1$

$= 6x^4 + 7x^3 - 14x^2 - 9x + 3$

3. 最終的な答え

(1) $A = 24x^2 - 18x - 9$

(2) $A = 24x^3 + 25x^2 - 32x - 14$

(3) $A = 6x^4 + 7x^3 - 14x^2 - 9x + 3$