$x$ の2次方程式 $mx^2 - 4mx - 2m + 4 = 0$ が重解を持つような定数 $m$ の値を求め、そのときの解を求めよ。ただし、$m \ne 0$ とする。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $mx^2 - 4mx - 2m + 4 = 0$ が重解を持つような定数 $m$ の値を求め、そのときの解を求めよ。ただし、$m \ne 0$ とする。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D = 0$ となることです。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (-4m)^2 - 4 \cdot m \cdot (-2m + 4) = 16m^2 - 4m(-2m + 4) = 16m^2 + 8m^2 - 16m = 24m^2 - 16m$

$D = 0$ となるような $m$ を求める。

$24m^2 - 16m = 0$

$8m(3m - 2) = 0$

$m = 0$ または $3m - 2 = 0$

$m = 0$ または $m = \frac{2}{3}$

ただし、$m \ne 0$ であるから、$m = \frac{2}{3}$

$m = \frac{2}{3}$ をもとの2次方程式に代入すると、

$\frac{2}{3}x^2 - 4 \cdot \frac{2}{3} x - 2 \cdot \frac{2}{3} + 4 = 0$

$\frac{2}{3}x^2 - \frac{8}{3}x - \frac{4}{3} + 4 = 0$

$\frac{2}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{8}{3} = 0$

両辺に$\frac{3}{2}$をかけて

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

3. 最終的な答え

$m = \frac{2}{3}$ のとき、$x = 2$