問題は、2次関数のグラフに関する2つの問題と、放物線の平行移動に関する1つの問題です。 * 問題2：与えられた2次関数について、グラフを描き、頂点と軸を求めます。 * 問題3：放物線 $y=2x^2-4x-1$ の頂点の座標を求め、それをx軸方向に2、y軸方向に-1だけ平行移動した放物線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

問題は、2次関数のグラフに関する2つの問題と、放物線の平行移動に関する1つの問題です。

* 問題2：与えられた2次関数について、グラフを描き、頂点と軸を求めます。

* 問題3：放物線 $y=2x^2-4x-1$ の頂点の座標を求め、それをx軸方向に2、y軸方向に-1だけ平行移動した放物線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

問題3 (1)

放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ の頂点の座標を求めます。平方完成を用いて、放物線を $y=a(x-h)^2+k$ の形に変形します。ここで、頂点の座標は $(h, k)$ です。

$y = 2x^2 - 4x - 1$

$y = 2(x^2 - 2x) - 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) - 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 - 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 3$

したがって、頂点の座標は $(1, -3)$ です。

問題3 (2)

放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ をx軸方向に2、y軸方向に-1だけ平行移動した放物線の方程式を求めます。

平行移動後の放物線の方程式は、元の放物線の $x$ を $x-2$ に、 $y$ を $y+1$ に置き換えることで得られます。

$y + 1 = 2(x - 2)^2 - 4(x - 2) - 1$

$y + 1 = 2(x^2 - 4x + 4) - 4x + 8 - 1$

$y + 1 = 2x^2 - 8x + 8 - 4x + 7$

$y + 1 = 2x^2 - 12x + 15$

$y = 2x^2 - 12x + 14$

または、頂点の移動を利用して求めることもできます。元の放物線の頂点は $(1, -3)$ であり、これをx軸方向に2、y軸方向に-1だけ平行移動すると、新しい頂点は $(1+2, -3-1) = (3, -4)$ となります。したがって、平行移動後の放物線の方程式は、$y = 2(x - 3)^2 - 4$ と表すことができます。これを展開すると、

$y = 2(x^2 - 6x + 9) - 4$

$y = 2x^2 - 12x + 18 - 4$

$y = 2x^2 - 12x + 14$

3. 最終的な答え

問題3 (1): 頂点の座標は $(1, -3)$ です。

問題3 (2): 移動後の放物線の方程式は $y = 2x^2 - 12x + 14$ です。