与えられた条件を満たす2次関数（放物線）を求める問題です。 (1) 放物線 $y = x^2 - 2x - 3$ を原点に関して対称移動し、x軸方向に平行移動したものが点 $(-1, 0)$ を通る。 (2) 放物線 $y = x^2$ を平行移動したものが2点 $(2, 1)$，$(3, 3)$ を通る。 (3) 放物線 $y = -3x^2$ を平行移動したものが点 $(1, 2)$ を通り、頂点が直線 $y = x + 3$ 上にある。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数（放物線）を求める問題です。

(1) 放物線 $y = x^2 - 2x - 3$ を原点に関して対称移動し、x軸方向に平行移動したものが点 $(-1, 0)$ を通る。

(2) 放物線 $y = x^2$ を平行移動したものが2点 $(2, 1)$，$(3, 3)$ を通る。

(3) 放物線 $y = -3x^2$ を平行移動したものが点 $(1, 2)$ を通り、頂点が直線 $y = x + 3$ 上にある。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - 2x - 3$ を原点に関して対称移動します。

原点対称移動は、$x$ を $-x$、$y$ を $-y$ で置き換えることで行われます。

$-y = (-x)^2 - 2(-x) - 3$

$-y = x^2 + 2x - 3$

$y = -x^2 - 2x + 3$

次に、x軸方向に $p$ だけ平行移動します。

$y = -(x - p)^2 - 2(x - p) + 3$

$y = -(x^2 - 2px + p^2) - 2x + 2p + 3$

$y = -x^2 + 2px - p^2 - 2x + 2p + 3$

$y = -x^2 + (2p - 2)x - p^2 + 2p + 3$

この放物線が $(-1, 0)$ を通るので、代入します。

$0 = -(-1)^2 + (2p - 2)(-1) - p^2 + 2p + 3$

$0 = -1 - 2p + 2 - p^2 + 2p + 3$

$0 = -p^2 + 4$

$p^2 = 4$

$p = \pm 2$

$p = 2$ のとき、$y = -x^2 + (2(2) - 2)x - 2^2 + 2(2) + 3 = -x^2 + 2x + 3$

$p = -2$ のとき、$y = -x^2 + (2(-2) - 2)x - (-2)^2 + 2(-2) + 3 = -x^2 - 6x - 5$

(2)

$y = x^2$ を平行移動したものは、$y = (x - p)^2 + q$ と表せます。

$(2, 1)$ と $(3, 3)$ を通るので、代入します。

$1 = (2 - p)^2 + q$

$3 = (3 - p)^2 + q$

$q = 1 - (2 - p)^2 = 1 - (4 - 4p + p^2) = -p^2 + 4p - 3$

$3 = (3 - p)^2 + (-p^2 + 4p - 3)$

$3 = 9 - 6p + p^2 - p^2 + 4p - 3$

$3 = -2p + 6$

$2p = 3$

$p = \frac{3}{2}$

$q = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{3}{2}\right) - 3 = -\frac{9}{4} + 6 - 3 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$

したがって、$y = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = x^2 - 3x + \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = x^2 - 3x + 3$

(3)

$y = -3x^2$ を平行移動したものは、$y = -3(x - p)^2 + q$ と表せます。

頂点は $(p, q)$ で、これが直線 $y = x + 3$ 上にあるので、$q = p + 3$。

$y = -3(x - p)^2 + p + 3$

これが $(1, 2)$ を通るので、代入します。

$2 = -3(1 - p)^2 + p + 3$

$2 = -3(1 - 2p + p^2) + p + 3$

$2 = -3 + 6p - 3p^2 + p + 3$

$2 = -3p^2 + 7p$

$3p^2 - 7p + 2 = 0$

$(3p - 1)(p - 2) = 0$

$p = \frac{1}{3}, 2$

$p = \frac{1}{3}$ のとき、$q = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$

$y = -3\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{10}{3} = -3\left(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}\right) + \frac{10}{3} = -3x^2 + 2x - \frac{1}{3} + \frac{10}{3} = -3x^2 + 2x + 3$

$p = 2$ のとき、$q = 2 + 3 = 5$

$y = -3(x - 2)^2 + 5 = -3(x^2 - 4x + 4) + 5 = -3x^2 + 12x - 12 + 5 = -3x^2 + 12x - 7$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 2x + 3$ または $y = -x^2 - 6x - 5$

(2) $y = x^2 - 3x + 3$

(3) $y = -3x^2 + 2x + 3$ または $y = -3x^2 + 12x - 7$