SENSEI AI
About App

## 数学の問題の解答

代数学線形代数行列固有値固有ベクトル座標変換2次形式直交行列双曲線
2025/6/22
## 数学の問題の解答
###

1. 問題の内容

1. スライドp.16を参照し、行列 $V = [v_2 \ v_1]$とした場合も$V$が直交行列であることを確かめ、問題の答えを求めよ。

2. 連立方程式 $\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\sqrt{5} \\ \sqrt{5} \end{bmatrix}$ が、独立した方程式で表されるよう、$x$-$y$座標系から$\bar{x}$-$\bar{y}$座標系へ座標変換し、等価な方程式を示せ。

3. 2次形式の方程式 $2x^2 + 4xy - y^2 = 1$ を標準化し、変換後の座標系において概形を図示せよ。

###

2. 解き方の手順

**

1. 直交行列の確認と問題の解答（問題1）**

スライドp.16を参照する必要があるため、具体的な解法はスライドの内容に依存します。しかし、一般的な直交行列の確認方法とその性質について説明します。
* **直交行列の定義:** 正方行列 VV が直交行列であるとは、VTV=VVT=IV^T V = V V^T = I を満たすことです。ここで、VTV^TはVVの転置行列、IIは単位行列です。
* **直交行列の性質:** 直交行列の列ベクトル（または行ベクトル）は互いに直交し、かつ大きさが1です。つまり、正規直交基底をなします。
具体的な確認手順は以下のようになります。

1. $v_2$ と $v_1$ が与えられている場合、$V = [v_2 \ v_1]$ を構成します。

2. $V^T$ を計算します。

3. $V^T V$ または $V V^T$ を計算します。

4. 計算結果が単位行列 $I$ に等しいかどうかを確認します。等しければ、$V$ は直交行列です。

問題の解答は、スライドに記載されているであろう追加の情報や指示に従って行います。
**

2. 座標変換による方程式の簡略化（問題2）**

1. **連立方程式を行列で表現:** 与えられた連立方程式は、行列形式で以下のように表されます。

A[xy]=bA \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = b
ここで、A=[222−1]A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} 、 [xy]=X\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = X、b=[−55]b = \begin{bmatrix} -\sqrt{5} \\ \sqrt{5} \end{bmatrix}です。
つまり，AX=bAX = bとなります。

2. **Aの固有値と固有ベクトルを計算:**

* 特性方程式を解いて固有値 λ を求めます。
det(A−λI)=0\text{det}(A - \lambda I) = 0
det[2−λ22−1−λ]=(2−λ)(−1−λ)−4=0\text{det}\begin{bmatrix} 2-\lambda & 2 \\ 2 & -1-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)(-1-\lambda) - 4 = 0
λ2−λ−6=0\lambda^2 - \lambda - 6 = 0
(λ−3)(λ+2)=0(\lambda - 3)(\lambda + 2) = 0
よって、固有値は λ1=3\lambda_1 = 3, λ2=−2\lambda_2 = -2 です。
* 各固有値に対する固有ベクトルを求めます。
* λ1=3\lambda_1 = 3 のとき:
(A−3I)v1=0(A - 3I)v_1 = 0
[−122−4][x1y1]=0\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} = 0
−x1+2y1=0-x_1 + 2y_1 = 0
x1=2y1x_1 = 2y_1
よって、固有ベクトルの一つは v1=[21]v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}。規格化すると v1^=15[21]\hat{v_1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}。
* λ2=−2\lambda_2 = -2 のとき:
(A+2I)v2=0(A + 2I)v_2 = 0
[4221][x2y2]=0\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix} = 0
2x2+y2=02x_2 + y_2 = 0
y2=−2x2y_2 = -2x_2
よって、固有ベクトルの一つは v2=[1−2]v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}。規格化すると v2^=15[1−2]\hat{v_2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}。

3. **座標変換行列Pを作成:** 固有ベクトルを列に並べた行列 $P$ を作成します。

P=[2/51/51/5−2/5]P = \begin{bmatrix} 2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \end{bmatrix}

4. **新しい座標系での連立方程式:**

新しい座標 [xˉyˉ]=Xˉ\begin{bmatrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{bmatrix} = \bar{X} を導入し、X=PXˉX = P \bar{X} となるように座標変換を行います。元の式 AX=bAX=b に代入すると、 A(PXˉ)=bA(P\bar{X})=b より、P−1APXˉ=P−1bP^{-1}AP\bar{X} = P^{-1}bとなります。PPは直交行列なのでP−1=PTP^{-1}=P^Tです。よって PTAPXˉ=PTbP^TAP \bar{X}= P^Tb。
PTAP=D=[300−2]P^TAP=D=\begin{bmatrix}3&0\\0&-2\end{bmatrix}であり、PTb=[2/51/51/5−2/5]T[−55]=[2/51/51/5−2/5][−55]=[−1−3]P^Tb = \begin{bmatrix} 2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} -\sqrt{5} \\ \sqrt{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\sqrt{5} \\ \sqrt{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \end{bmatrix}
したがって、新しい座標系における方程式は次のようになります。
[300−2][xˉyˉ]=[−1−3]\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \end{bmatrix}
これは次の二つの方程式に対応します。
3xˉ=−13\bar{x} = -1
−2yˉ=−3-2\bar{y} = -3
**

3. 2次形式の標準化と概形図示（問題3）**

1. **2次形式を行列で表現:** 与えられた2次形式 $2x^2 + 4xy - y^2 = 1$ は、行列形式で以下のように表されます。

[xy]A[xy]=1\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 1
ここで、A=[222−1]A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} です。

2. **Aの固有値と固有ベクトルを計算:**

* 問題2と同様に、AAの固有値は λ1=3\lambda_1 = 3, λ2=−2\lambda_2 = -2 です。
* 固有ベクトルも問題2と同様に、規格化された固有ベクトルは v1^=15[21]\hat{v_1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, v2^=15[1−2]\hat{v_2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} です。

3. **座標変換行列Pを作成:** 固有ベクトルを列に並べた行列 $P$ を作成します。

P=[2/51/51/5−2/5]P = \begin{bmatrix} 2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \end{bmatrix}

4. **新しい座標系での方程式:**

新しい座標 [xˉyˉ]=Xˉ\begin{bmatrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{bmatrix} = \bar{X} を導入し、X=PXˉX = P \bar{X} となるように座標変換を行います。元の式 XTAX=1X^T A X = 1 に代入すると、 (PXˉ)TA(PXˉ)=1(P \bar{X})^T A (P \bar{X}) = 1 より、 XˉTPTAPXˉ=1\bar{X}^T P^T A P \bar{X} = 1となります。
PTAP=D=[300−2]P^T A P = D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} であるので、新しい座標系における方程式は次のようになります。
3xˉ2−2yˉ2=13\bar{x}^2 - 2\bar{y}^2 = 1

5. **概形図示:**

この方程式は双曲線を表します。xˉ\bar{x} 軸方向の頂点は (±13,0)(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, 0) です。漸近線は yˉ=±32xˉ\bar{y} = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \bar{x} です。
###

3. 最終的な答え

1. **問題1:** 解答はスライドp.16に依存します。直交行列の確認方法と性質は上記に説明しました。

2. **問題2:** 独立した方程式で表された等価な方程式は以下のとおりです。

3xˉ=−13\bar{x} = -1
−2yˉ=−3-2\bar{y} = -3

3. **問題3:** 標準化された方程式は $3\bar{x}^2 - 2\bar{y}^2 = 1$ であり、これは双曲線です。

「代数学」の関連問題

与えられた不等式 $\frac{1-3x}{2} \leq 3(1-2x)$ を解き、$x$ の範囲を求める。

不等式一次不等式計算
2025/6/22

次の1次不等式を解きます。 $\frac{1}{2}x > \frac{4}{5}x + 3$

一次不等式不等式計算
2025/6/22

与えられた行列 $A, B, C, D$ に対して、以下の行列を計算する。 (1) $3A-2B$ (2) $BC$ (3) $CD$ (4) $DB$ (5) $A^2$

行列行列の演算行列の積
2025/6/22

与えられた式 $2020 \times 2025 - 2023 \times 2022$ を計算し、その答えを求めなさい。

式の計算展開因数分解
2025/6/22

2次正方行列 A, B に対して以下の等式が成り立つことを示す問題です。 (1) $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ (2) 正則行列 P に対して $\text{tr}(...

線形代数行列トレース転置行列
2025/6/22

与えられた複素数に関する方程式を解く問題です。 (1) $z^3 = i$ (2) $z^4 = -1$ (3) $z^2 = -1 + \sqrt{3}i$ (4) $z^6 + z^3 + 1 =...

複素数複素平面方程式ド・モアブルの定理
2025/6/22

次の方程式を解いてください。 $\frac{2}{3}x - 1 = \frac{x+1}{2}$

一次方程式方程式の解法分数
2025/6/22

与えられた式 $8x^2 - 72$ を因数分解する問題です。

因数分解二次式共通因数
2025/6/22

与えられた方程式 $x = \frac{1}{2}x + 1$ を解いて、$x$ の値を求める問題です。

一次方程式方程式の解法
2025/6/22

正則行列 $P$ を用いて、行列 $A$ が $P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ と対角化されたとする...

線形代数行列対角化行列式固有値
2025/6/22